京都大学 理系 2025年度 第2問 解説
問題編
問題
正の整数 $x,y,z$ を用いて\[ N=9z^2=x^6+y^4 \]と表される正の整数 $N$ の最小値を求めよ。
考え方
6乗とかが出てきて見た目が大げさですが、見掛け倒しです。逆に、6乗だとあまり大きな数が出てこないと考えられます。とはいえ、小さい数をいくつか代入しても成り立つ組は簡単には見つかりません。まずは、 $9$ の部分から考えて、ある程度候補を絞っていくのがいいでしょう。
このような等式で、最小値を求めさせるのはちょっと変わっています（普通は成り立つ組をすべて求めよ、などと出題されます）。答えがわかると納得感があります。
解答編
問題
正の整数 $x,y,z$ を用いて\[ N=9z^2=x^6+y^4 \]と表される正の整数 $N$ の最小値を求めよ。
解答
正の整数 $x,y,z$ が\[ 9z^2=z^6+y^4 \quad \cdots (*) \]を満たすとする。
一般に、整数 $A$ は $3q+r$ と書ける（$q$ は整数、 $r=-1,0,1$）。このとき、\[ A^2=(3q+r)^2=3(3q^2+2qr)+r^2 \]なので、$A,A^2,A^4,A^6$ を $3$ で割った余りは次のように対応する。
| $A$ | $A^2$ | $A^4$ | $A^6$ |
| $0$ | $0$ | $0$ | $0$ |
| $1$ | $1$ | $1$ | $1$ |
| $2$ | $1$ | $1$ | $1$ |
上の表より、 $x^6+y^4$ を $3$ で割った余りは $0,1,2$ のいずれかである。ここで、$x^6+y^4$ が $9z^2$ と等しいことから、余りは $0$ である。よって、 $x,y$ はともに $3$ で割り切れるから、 $x=3a,y=3b$ となる整数 $a,b$ が存在する。
これを $(*)$ に代入すると、
\begin{eqnarray}
9z^2 &=& (3a)^6+(3b)^4 \\[5pt]
z^2 &=& 3^4 a^6 +3^2b^4 \\[5pt]
z^2 &=& 3^2 (3^2 a^6 +b^4) \\[5pt]
\end{eqnarray}となるから、 $z$ も $3$ で割り切れる。よって、 $z=3c$ となる整数 $c$ が存在する。
\begin{eqnarray}
(3c)^2 &=& 3^2 (3^2 a^6 +b^4) \\[5pt]
c^2 &=& 9 a^6 +b^4 \\[5pt]
\end{eqnarray}ここで、 $9a^6+b^4\geqq 9+1=10$ なので、 $c\geqq 4$ である。
$c=4$ とすると、 $a=1$ となるが、 $b^4=7$ を満たす整数 $b$ は存在しない。
$c=5$ とすると、 $a=1,b=2$ とすればよい。 $c$ が $5$ 未満、つまり、 $z=3c=15$ 未満で $(*)$ を満たすものはないので、 $N$ の最小値は $9\cdot 15^2=2025$ …（答）
解説
$c^2 = 9 a^6 +b^4$ までたどりつければ、
\begin{eqnarray}
9a^6 &=& c^2-b^4 =(c-b^2)(c+b^2)
\end{eqnarray}なので、 $a=1$ とすると、 $c=5,b^2=4$ とすれば、とりあえず組は見つけられます。なので、あとは小さい方からしらみつぶしに考えていけばいいです。2025を言いたいだけの問題ですね。
