京都大学 文系 2026年度 第4問 解説
問題編
問題
実数 $x$ に対して、 $l\leqq x$ を満たす最大の整数 $l$ を $[x]$ で表す。正の整数 $n$ に対して、 $\displaystyle a_n=\sum_{k=1}^n [\log_3 k]$ と定める。
(1) $a_{26}$ を求めよ。
(2) $N$ を正の整数とし、 $m=3^N-1$ とするとき、 $a_m$ を $N$ を用いて表せ。
考え方
(1)は練習で、本番は(2)です。どうやって計算をするかは複数の方法がありますが、すぐに思いつきやすい方法は、ちょっと計算量が多くなります。工夫すると簡単になりますが、経験がないと思いつきにくいかもしれません。
解答編
問題
実数 $x$ に対して、 $l\leqq x$ を満たす最大の整数 $l$ を $[x]$ で表す。正の整数 $n$ に対して、 $\displaystyle a_n=\sum_{k=1}^n [\log_3 k]$ と定める。
(1) $a_{26}$ を求めよ。
解答
(1)
$k=1,2$ のとき、 $0\lt \log_3 k \lt 1$ なので、 $[\log_3 k]=0$
$k=3,4,\cdots,8$ のとき、 $1\leqq \log_3 k \lt 2$ なので、 $[\log_3 k]=1$
$k=9,10,\cdots, 26$ のとき、 $2\leqq \log_3 k\lt 3$ なので、 $[\log_3 k]=2$
以上より、\[ a_{26}=1\cdot6+2\cdot18=6+36=42 \]となる。…（答）
解答編 つづき
問題
(2) $N$ を正の整数とし、 $m=3^N-1$ とするとき、 $a_m$ を $N$ を用いて表せ。
解答
(2)
$[\log_3 k]$ の数だけ、以下のように〇を書けば、〇の個数をすべて足し合わせたものが $a_m$ となる。
| $k$ | $1,2$ | $3,4,\cdots,8$ | $9,10,\cdots,26$ | $27,28,\cdots,80$ |
|---|---|---|---|---|
| $[\log_3 k]$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
| 丸 | なし | 〇 | 〇 〇 |
〇 〇 〇 |
縦に数えてから横に足していくのではなく、横に数えてから縦に足していくことにする。
$[\log_3 k]$ が $1$ 以上となるものは、 $(3^N-1)-(3-1)=3^N-3$ 個ある。
$[\log_3 k]$ が $2$ 以上となるものは、 $(3^N-1)-(3^2-1)=3^N-3^2$ 個ある。
同様に、$[\log_3 k]$ が $i$ 以上となるものは、 $(3^N-1)-(3^i-1)=3^N-3^i$ 個ある。
よって、
\begin{eqnarray}
a_m
&=&
\sum_{i=1}^{N-1} (3^N-3^i) \\[5pt]
&=&
(N-1)3^N-\frac{3(3^{N-1}-1)}{3-1} \\[5pt]
&=&
N \cdot 3^N -3^N-\frac{3^N-3}{2} \\[5pt]
&=&
N \cdot 3^N -\frac{3^{N+1}}{2}+\frac{3}{2} \\[5pt]
\end{eqnarray}となる。…（答）
別解
$[\log_3 k]=s$ となるのは、 $3^s\leqq k\lt 3^{s+1}$ のときなので、\[ 3^{s+1}-3^s=2\cdot 3^s \]個ある。よって、
\begin{eqnarray}
a_m &=& \sum_{k=1}^{N-1} k\cdot 2\cdot 3^k \\[5pt]
&=&
2(1\cdot 3^1+2\cdot 3^2+3\cdot 3^3+\cdots+(N-1)3^{N-1})
\end{eqnarray}となる。ここで、 $N\geqq 2$ のとき
\begin{eqnarray}
a_m-3a_m
&=&
2\cdot 1\cdot 3^1+2(3^2+3^3+\cdots+3^{N-1}) -2(N-1)3^N \\[5pt]
-a_m
&=&
(3^1+3^2+3^3+\cdots+3^{N-1}) -(N-1)3^N \\[5pt]
a_m
&=&
(N-1)3^N-\frac{3(3^{N-1}-1)}{3-1} \\[5pt]
&=&
N \cdot 3^N -\frac{3^{N+1}}{2}+\frac{3}{2} \\[5pt]
\end{eqnarray}となる（最後は、上の解答と同じ計算）。
$n=1$ のときも成り立つので、 $a_m=N \cdot 3^N -\dfrac{3^{N+1}}{2}+\dfrac{3}{2}$ …（答）
