京都大学 文系 2026年度 第3問 解説

問題編

問題

　$p$ は $3$ より大きい素数とする。

(1) $2p$ 以上の整数 $N$ は $0$ 以上の整数 $m$ と $0$ 以上の整数 $k$ を用いて\[ N=3m+pk \]と表すことができることを示せ。

(2) $0$ 以上の整数 $m$ と $0$ 以上の整数 $k$ を用いて\[ N=3m+pk \]と表すことができないような $0$ 以上の整数 $N$ の個数を求めよ。

考え方

(1)では、例えば、 $N=3m+5p$ と書けたとすると、 $N=3(m+p)+2p$ というように変形できるので、 $k$ のところは $0,1,2$ の場合だけを考えればいいです。

(2)では「表せない」のは難しいので、「表せる」ものを全体から引いたほうが考えやすいでしょう。

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解答編

問題

　$p$ は $3$ より大きい素数とする。

(1) $2p$ 以上の整数 $N$ は $0$ 以上の整数 $m$ と $0$ 以上の整数 $k$ を用いて\[ N=3m+pk \]と表すことができることを示せ。

解答

(1)
$p$ は $3$ より大きい素数なので、 $3$ で割り切れない。また、 $p$ と $2p$ との差は $p$ だから、\[ 0,\ p,\ 2p \]は $3$ で割ったときの余りは相異なる。よって、\[ N,\ N-p,\ N-2p \]を $3$ で割ったときの余りも相異なるので、どれかは $3$ の倍数である。 $N\geqq 2p$ なので、どれも $0$ 以上だから、$k$ を $0,1,2$ のどれかにすれば、$0$ 以上の整数 $m$ を用いて\[ N=3m+pk \]と表すことができることがわかる。（終）

解答編　つづき

問題

(2) $0$ 以上の整数 $m$ と $0$ 以上の整数 $k$ を用いて\[ N=3m+pk \]と表すことができないような $0$ 以上の整数 $N$ の個数を求めよ。

解答

(2)
(1)より、 $N\lt 2p$ の場合を考えればよい。よって、もし、 $N=3m+pk$ と表せるなら、 $k$ は $0$ か $1$ である。

(i) $p$ を $3$ で割ったときの余りが $1$ のとき

$k=0$ のとき、 $0$ 以上 $2p$ 未満の整数で $3m$ の形で表せるものの個数は、 $2p$ を $3$ で割ったときの余りが $2$ であることから、 $\left(\dfrac{2p-2}{3}+1\right)$ 個だとわかる。

$k=1$ のとき、 $0$ 以上 $2p$ 未満の整数で $3m+p$ の形で表せるものの個数は、 $0$ 以上 $p$ 未満の整数で $3m$ の形で表せるものの個数と等しいから、 $\left(\dfrac{p-1}{3}+1\right)$ 個だとわかる。

また、整数 $m,n$ に対して $3m=3n+p$ となるとすると、 $p=3(m-n)$ より、 $p$ が $3$ の倍数となってしまい、矛盾するから、上の2つの中に重複しているものはない。よって、 $N=3m+pk$ と表せないものの個数は\[ 2p-\left(\dfrac{2p-2}{3}+1\right)-\left(\dfrac{p-1}{3}+1\right)=p-1 \]個とわかる。

(ii) $p$ を $3$ で割ったときの余りが $2$ のとき

$k=0$ のとき、 $0$ 以上 $2p$ 未満の整数で $3m$ の形で表せるものの個数は、 $2p$ を $3$ で割ったときの余りが $1$ であることから、 $\left(\dfrac{2p-1}{3}+1\right)$ 個だとわかる。

$k=1$ のとき、 $0$ 以上 $2p$ 未満の整数で $3m+p$ の形で表せるものの個数は、 $0$ 以上 $p$ 未満の整数で $3m$ の形で表せるものの個数と等しいから、 $\left(\dfrac{p-2}{3}+1\right)$ 個だとわかる。

(i)と同様に、これらの中に重複しているものはないので、 $N=3m+pk$ と表せないものの個数は\[ 2p-\left(\dfrac{2p-1}{3}+1\right)-\left(\dfrac{p-2}{3}+1\right)=p-1 \]個とわかる。

(i)(ii)より、求める $N$ の個数は、 $(p-1)$ 個…（答）