京都大学 文系 2025年度 第5問 解説
問題編
問題
座標空間の4点 $\mathrm{O,A,B,C}$ は同一平面上にないとする。 $s,t,u$ は $0$ でない実数とする。直線 $\mathrm{OA}$ 上の点 $\mathrm{L}$、直線 $\mathrm{OB}$ 上の点 $\mathrm{M}$、直線 $\mathrm{OC}$ 上の点 $\mathrm{N}$ を\[ \overrightarrow{\mathrm{OL}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OM}}=t \overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{\mathrm{ON}}=u \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]が成り立つようにとる。 $s,t,u$ が $\dfrac{1}{s}+\dfrac{2}{t}+\dfrac{3}{u}=4$ を満たす範囲であらゆる値をとるとき、3点 $\mathrm{L,M,N}$ の定める平面 $\mathrm{LMN}$ は、 $s,t,u$ の値に無関係な一定の点 $\mathrm{P}$ を通ることを示せ。さらに、そのような点 $\mathrm{P}$ はただ一つに定まることを示せ。
考え方
$s,t,u$ が分母にあり、あまり見たことがないので考えにくいです。ただ、 $s,t,u$ の値に無関係ということは、自由に自分で設定できる値を使って、 $s,t,u$ が消えるようにすればいいです。
京都大学 理系 2025年度 第4問 の(1)の前半と同じ問題です。
解答編
問題
座標平面において、曲線 $C_1: y=x^2-2|x|$、曲線 $C_2:y=x^2-5x+\dfrac{7}{4}$、直線 $l_1:x=\dfrac{3}{2}$ を考える。
(1) 点 $(0,0)$ と異なる点で $C_1$ と接し、さらに $C_2$ とも接するような直線 $l_2$ がただ一つ存在することを示せ。
解答
$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a}$, $\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b}$, $\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\vec{c}$ とする。
平面 $\mathrm{LMN}$ 上の点 $\mathrm{Q}$ は、 $l+m+n=1$ を満たす実数 $l,m,n$ を用いて
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{OQ}}
=
l \overrightarrow{\mathrm{OL}}
+m \overrightarrow{\mathrm{OM}}
+n \overrightarrow{\mathrm{ON}}
\end{eqnarray}とかける。ここで、
$\dfrac{1}{s}+\dfrac{2}{t}+\dfrac{3}{u}=4$ を変形すると、$\dfrac{1}{4s}+\dfrac{2}{4t}+\dfrac{3}{4u}=1$ となるから、 $l=\dfrac{1}{4s}$, $m=\dfrac{2}{4t}$, $n=\dfrac{3}{4u}$ とすれば、 $l+m+n=1$ を満たし、
\begin{eqnarray}
& &
l \overrightarrow{\mathrm{OL}}
+m \overrightarrow{\mathrm{OM}}
+n \overrightarrow{\mathrm{ON}} \\[5pt]
&=&
ls\vec{a} +mt\vec{b}+nu\vec{c} \\[5pt]
&=&
\frac{1}{4}\vec{a} +\frac{2}{4}\vec{b}+\frac{3}{4}\vec{c} \\[5pt]
\end{eqnarray}となる。よって、\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{1}{4}\vec{a} +\frac{2}{4}\vec{b}+\frac{3}{4}\vec{c} \]となるように点 $\mathrm{P}$ をとれば、平面 $\mathrm{LMN}$ は、 $s,t,u$ に無関係な点 $\mathrm{P}$ を通ることがわかる。（終）
