京都大学 文系 2025年度 第3問 解説
問題編
問題
$n$ は正の整数とする。1枚の硬貨を投げ、表が出たら $1$、裏が出たら $2$ と記録する。この試行を $n$ 回繰り返し、記録された順に数字を左から並べて $n$ 桁の数 $X$ を作る。ただし、数の表し方は十進法とする。このとき、 $X$ が $6$ で割り切れる確率を求めよ。
考え方
$6$ で割り切れるのはまずどういう場合かを考えます。それをもとに、どういう確率が求められればいいかを考えましょう。ただ、 $6$ で割った余りで場合分けをすると量が多すぎて大変でしょう。
解答編
問題
$n$ は正の整数とする。1枚の硬貨を投げ、表が出たら $1$、裏が出たら $2$ と記録する。この試行を $n$ 回繰り返し、記録された順に数字を左から並べて $n$ 桁の数 $X$ を作る。ただし、数の表し方は十進法とする。このとき、 $X$ が $6$ で割り切れる確率を求めよ。
解答
$n$ 桁の数を $3$ で割ったときの余りが $r$ になる確率を $p(n,r)$ で表す（$r=0,1,2$）。このとき、\[ p(1,0)=0,\quad p(1,1)=p(1,2)=\frac{1}{2} \]である。
ここで、 $X$ を $3$ で割った余りと、 $X$ の各位の和を $3$ で割った余りは等しいので、次の3つの式が成り立つ。
\begin{eqnarray}
p(n+1,0) &=& \frac{1}{2}p(n,1) +\frac{1}{2}p(n,2) \\[5pt]
p(n+1,1) &=& \frac{1}{2}p(n,2) +\frac{1}{2}p(n,0) \\[5pt]
p(n+1,2) &=& \frac{1}{2}p(n,0) +\frac{1}{2}p(n,1) \\[5pt]
\end{eqnarray}ここで、1つ目から2つ目を引くと
\begin{eqnarray}
& &
p(n+1,0)-p(n+1,1) \\[5pt]
&=&
\frac{1}{2}p(n,1)-\frac{1}{2}p(n,0) \\[5pt]
&=&
-\frac{1}{2} \{ p(n,0)-p(n,1) \} \\[5pt]
\end{eqnarray}よって、
\begin{eqnarray}
& &
p(n,0)-p(n,1) \\[5pt]
&=&
\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} \{ p(1,0)-p(1,1) \} \\[5pt]
&=&
\left(-\frac{1}{2}\right)^n \\[5pt]
\end{eqnarray}が成り立つ。3つ目から2つ目を引いて同様にすると、
\begin{eqnarray}
& &
p(n,2)-p(n,1) \\[5pt]
&=&
\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} \{ p(1,2)-p(1,1) \} \\[5pt]
&=&
0 \\[5pt]
\end{eqnarray}が得られる。
また、 $p(n,0)+p(n,1)+p(n,2)=1$ なので、先ほど求めた式を代入すると\[ \left(-\frac{1}{2}\right)^n+p(n,1)+p(n,1)+p(n,1) = 1 \]が成り立つ。これを整理すれば、
\begin{eqnarray}
p(n,1) &=& \frac{1}{3} \left\{ 1-\left(-\frac{1}{2}\right)^n \right\} \\[5pt]
\end{eqnarray}が得られる。
$n\geqq 2$ のとき、 $X$ が $6$ で割り切れる場合は、左側の $n-1$ 桁を $3$ で割ったときの余りが $1$ で、一番右の桁が $2$ のときなので、こうなる確率は\[ \frac{1}{2}p(n-1,1)=\frac{1}{6} \left\{ 1-\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} \right\} \]である。最後の式は $n=1$ のときも成り立つ。よって、求める確率は\[ \frac{1}{6} \left\{ 1-\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} \right\} \]…（答）
