センター試験数学II・数学B 2017年度追試第4問解説

🕒 2017/06/10 🔄 2023/05/01

【選択問題】(第3問～第5問から2問選択)

問題編

問題

　座標空間において4点 $\mathrm{ A }(2,0,0)$, $\mathrm{ B }(1,1,0)$, $\mathrm{ C }(1,0,1)$, $\mathrm{ D }(x,y,z)$ を考える。

(1) 三つのベクトル $\overrightarrow{\mathrm{ DA } }$, $\overrightarrow{\mathrm{ DB } }$, $\overrightarrow{\mathrm{ DC } }$ について
\begin{eqnarray} & & \overrightarrow{\mathrm{ DA } } \cdot \overrightarrow{\mathrm{ DB } } -\overrightarrow{\mathrm{ DB } }\cdot \overrightarrow{\mathrm{ DC } } = \myBox{ア} \quad \cdots ① \\[5pt] & & \overrightarrow{\mathrm{ DB } } \cdot \overrightarrow{\mathrm{ DC } } -\overrightarrow{\mathrm{ DC } }\cdot \overrightarrow{\mathrm{ DA } } = \myBox{イ} \quad \cdots ② \\[5pt] \end{eqnarray}である。 $\myBox{ア}$, $\myBox{イ}$ に当てはまるものを、次の 0 ～ 8 のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを選んでもよい。
　0: $x-y-1$
　1: $y-z-1$
　2: $z-x-1$
　3: $x-y$
　4: $y-z$
　5: $z-x$
　6: $x-y+1$
　7: $y-z+1$
　8: $z-x+1$

(2) $\mathrm{ AB }=\mathrm{ BC }=\mathrm{ CA }=\sqrt{\myBox{ウ} }$ により、三角形 ABC は正三角形である。以下、4点 A, B, C, D が正四面体の四つの頂点になるとする。このときの x, y, z の値を求めよう。ただし、 $x\gt 1$ とする。
　ベクトル $\overrightarrow{\mathrm{ DA } }$, $\overrightarrow{\mathrm{ DB } }$, $\overrightarrow{\mathrm{ DC } }$ の大きさは、いずれも $\sqrt{\myBox{エ} }$ であり、どの二つのベクトルのなす角も $\myBox{オカ}\ ^{\circ}$ である、よって、\[ \overrightarrow{\mathrm{ DA } } \cdot \overrightarrow{\mathrm{ DB } } = \overrightarrow{\mathrm{ DB } } \cdot \overrightarrow{\mathrm{ DC } } = \overrightarrow{\mathrm{ DC } } \cdot \overrightarrow{\mathrm{ DA } } =\myBox{キ} \]となる。このことと①、②および\[ |\overrightarrow{\mathrm{ DA } }| = |\overrightarrow{\mathrm{ DB } }| = |\overrightarrow{\mathrm{ DC } }| =\sqrt{\mybox{エ} } \]により、\[ (x,y,z) = \left(\myBox{ク}, \myBox{ケ}, \myBox{コ}\right) \]となる。

(3) $(x,y,z) = \left(\mybox{ク}, \mybox{ケ}, \mybox{コ}\right)$ のときを考える。線分 AB の中点を P、線分 DA を $1:2$ に内分する点を Q、線分 DC を $t:(1-t)\ (0\lt t \lt 1)$ に内分する点を R とする。三角形 PQR の面積 S が最小になるときの t の値をを求めよう。
\begin{eqnarray} & & |\overrightarrow{ \mathrm{ PQ } }|^2 = \frac{\myBox{サシ} }{\myBox{スセ} } \\[5pt] & & |\overrightarrow{ \mathrm{ PR } }|^2 = \myBox{ソ}t^2 -\myBox{タ}t +\frac{\myBox{チ} }{\myBox{ツ} } \\[5pt] \end{eqnarray}であり、 $\overrightarrow{ \mathrm{ PQ } }$ と $\overrightarrow{ \mathrm{ PR } }$ のなす角を $\theta$ とすると、 $S = \dfrac{1}{2} |\overrightarrow{ \mathrm{ PQ } }| |\overrightarrow{ \mathrm{ PR } }| \sin \theta$ なので \begin{eqnarray} 4S^2 &=& |\overrightarrow{ \mathrm{ PQ } }|^2 |\overrightarrow{ \mathrm{ PR } }|^2 \sin^2 \theta \\[5pt] &=& |\overrightarrow{ \mathrm{ PQ } }|^2 |\overrightarrow{ \mathrm{ PR } }|^2 -|\overrightarrow{ \mathrm{ PQ } }|^2 |\overrightarrow{ \mathrm{ PR } }|^2 \cos^2 \theta \\[5pt] &=& t^2 -\frac{\myBox{テ} }{\myBox{ト} }t +\frac{\myBox{ナ} }{\myBox{ニヌ} } \\[5pt] \end{eqnarray}である。よって、 S は $t=\dfrac{\myBox{ネ} }{\myBox{ノハ} }$ のとき最小になる。

考え方

空間ベクトルですが、特に図をかいて考える必要はありません。図形的なひらめきがなくても解くことができます。

(1)は直接代入するよりも、左辺を少し変形してから代入すると計算が少し楽になります。計算量が多いので、工夫できるところは工夫してから計算しましょう。

(2)は、「正四面体になるとき」という、よくある問題です。似た問題を解いたことがある人も多いでしょう。(1)で出てきた内積の式の左辺が0になることを利用して解いていきましょう。

(3)も、ベクトルの問題でよくある、三角形の面積の問題です。途中で、内積の2乗を使います。(2)の結果を使うので、(3)に進む前に計算間違いがないか、チェックしておくと安全です。

【選択問題】(第3問～第5問から2問選択)

解答編

問題

　座標空間において4点 $\mathrm{ A }(2,0,0)$, $\mathrm{ B }(1,1,0)$, $\mathrm{ C }(1,0,1)$, $\mathrm{ D }(x,y,z)$ を考える。

(1) 三つのベクトル $\overrightarrow{\mathrm{ DA } }$, $\overrightarrow{\mathrm{ DB } }$, $\overrightarrow{\mathrm{ DC } }$ について
\begin{eqnarray} & & \overrightarrow{\mathrm{ DA } } \cdot \overrightarrow{\mathrm{ DB } } -\overrightarrow{\mathrm{ DB } }\cdot \overrightarrow{\mathrm{ DC } } = \myBox{ア} \quad \cdots ① \\[5pt] & & \overrightarrow{\mathrm{ DB } } \cdot \overrightarrow{\mathrm{ DC } } -\overrightarrow{\mathrm{ DC } }\cdot \overrightarrow{\mathrm{ DA } } = \myBox{イ} \quad \cdots ② \\[5pt] \end{eqnarray}である。 $\myBox{ア}$, $\myBox{イ}$ に当てはまるものを、次の 0 ～ 8 のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを選んでもよい。
　0: $x-y-1$
　1: $y-z-1$
　2: $z-x-1$
　3: $x-y$
　4: $y-z$
　5: $z-x$
　6: $x-y+1$
　7: $y-z+1$
　8: $z-x+1$

解説

各点の座標を利用して、それぞれのベクトルを成分で書くと、
\begin{eqnarray} & & \overrightarrow{\mathrm{ DA } } &=& (2-x, -y, -z) \\[5pt] & & \overrightarrow{\mathrm{ DB } } &=& (1-x,1-y, -z) \\[5pt] & & \overrightarrow{\mathrm{ DC } } &=& (1-x, -y,1-z) \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

また、
\begin{eqnarray} & & \overrightarrow{\mathrm{ DA } } \cdot \overrightarrow{\mathrm{ DB } } -\overrightarrow{\mathrm{ DB } }\cdot \overrightarrow{\mathrm{ DC } } \\ &=& \overrightarrow{\mathrm{ DB } } \cdot \left(\overrightarrow{\mathrm{ DA } } -\overrightarrow{\mathrm{ DC } }\right) \\ &=& \overrightarrow{\mathrm{ DB } } \cdot \overrightarrow{\mathrm{ CA } } \\[10pt] & & \overrightarrow{\mathrm{ DB } } \cdot \overrightarrow{\mathrm{ DC } } -\overrightarrow{\mathrm{ DC } }\cdot \overrightarrow{\mathrm{ DA } } \\ &=& \overrightarrow{\mathrm{ DC } } \cdot \left(\overrightarrow{\mathrm{ DB } } -\overrightarrow{\mathrm{ DA } }\right) \\ &=& \overrightarrow{\mathrm{ DC } } \cdot \overrightarrow{\mathrm{ AB } } \\[5pt] \end{eqnarray}であり、各点の座標を利用すると \begin{eqnarray} & & \overrightarrow{\mathrm{ CA } } &=& (1, 0, -1) \\[5pt] & & \overrightarrow{\mathrm{ AB } } &=& (-1,1, 0) \\[5pt] \end{eqnarray}と書くことができます。

これらを使って、内積を成分で書いて計算すると
\begin{eqnarray} & & \overrightarrow{\mathrm{ DA } } \cdot \overrightarrow{\mathrm{ DB } } -\overrightarrow{\mathrm{ DB } }\cdot \overrightarrow{\mathrm{ DC } } \\[5pt] &=& \overrightarrow{\mathrm{ DB } } \cdot \overrightarrow{\mathrm{ CA } } \\[5pt] &=& (1-x,1-y,-z) \cdot (1, 0, -1) \\[5pt] &=& (1-x)+(-z)\cdot (-1) \\[5pt] &=& z-x+1 \end{eqnarray}となります。

また、
\begin{eqnarray} & & \overrightarrow{\mathrm{ DB } } \cdot \overrightarrow{\mathrm{ DC } } -\overrightarrow{\mathrm{ DC } }\cdot \overrightarrow{\mathrm{ DA } } \\[5pt] &=& \overrightarrow{\mathrm{ DC } } \cdot \overrightarrow{\mathrm{ AB } } \\[5pt] &=& (1-x, -y,1-z) \cdot (-1,1,0) \\[5pt] &=& -(1-x)+(-y) \\[5pt] &=& x-y-1 \end{eqnarray}となります。

解答

アイ：80

解答編つづき

問題

(2) $\mathrm{ AB }=\mathrm{ BC }=\mathrm{ CA }=\sqrt{\myBox{ウ} }$ により、三角形 ABC は正三角形である。

解説

\begin{eqnarray} \mathrm{ AB }^2 &=& (2-1)^2+(0-1)^2+0^2 \\ &=& 2 \\ \end{eqnarray}となります。他の辺も一応計算すると \begin{eqnarray} \mathrm{ BC }^2 &=& (1-1)^2+(1-0)^2+(0-1)^2 \\ &=& 2 \\ \end{eqnarray}であり、 \begin{eqnarray} \mathrm{ CA }^2 &=& (1-2)^2+(0-0)^2+(1-0)^2 \\ &=& 2 \\ \end{eqnarray}となるので、三辺の長さはすべて $\sqrt{2}$ となります。

解答

ウ：2

解答編つづき

問題

以下、4点 A, B, C, D が正四面体の四つの頂点になるとする。このときの x, y, z の値を求めよう。ただし、 $x\gt 1$ とする。
　ベクトル $\overrightarrow{\mathrm{ DA } }$, $\overrightarrow{\mathrm{ DB } }$, $\overrightarrow{\mathrm{ DC } }$ の大きさは、いずれも $\sqrt{\myBox{エ} }$ であり、どの二つのベクトルのなす角も $\myBox{オカ}\ ^{\circ}$ である、よって、\[ \overrightarrow{\mathrm{ DA } } \cdot \overrightarrow{\mathrm{ DB } } = \overrightarrow{\mathrm{ DB } } \cdot \overrightarrow{\mathrm{ DC } } = \overrightarrow{\mathrm{ DC } } \cdot \overrightarrow{\mathrm{ DA } } =\myBox{キ} \]となる。このことと①、②および\[ |\overrightarrow{\mathrm{ DA } }| = |\overrightarrow{\mathrm{ DB } }| = |\overrightarrow{\mathrm{ DC } }| =\sqrt{\mybox{エ} } \]により、\[ (x,y,z) = \left(\myBox{ク}, \myBox{ケ}, \myBox{コ}\right) \]となる。

解説

正四面体の辺の長さはどれも等しいため、 $\overrightarrow{\mathrm{ DA } }$, $\overrightarrow{\mathrm{ DB } }$, $\overrightarrow{\mathrm{ DC } }$ の大きさは、いずれも $\sqrt{2}$ です。

また、正四面体の各面は正三角形だから、 $\overrightarrow{\mathrm{ DA } }$, $\overrightarrow{\mathrm{ DB } }$, $\overrightarrow{\mathrm{ DC } }$ のどの2つのベクトルのなす角も、 $60^{\circ}$ となります。

ベクトルの長さとなす角を用いて内積を計算すると
\begin{eqnarray} & & \overrightarrow{\mathrm{ DA } } \cdot \overrightarrow{\mathrm{ DB } } \\[5pt] &=& |\overrightarrow{\mathrm{ DA } }| |\overrightarrow{\mathrm{ DB } }| \cos\angle \mathrm{ BAD } \\[5pt] &=& \sqrt{2} \times \sqrt{2} \times \cos 60^{\circ} \\[5pt] &=& 1 \end{eqnarray}となります。他の内積 $\overrightarrow{\mathrm{ DB } } \cdot \overrightarrow{\mathrm{ DC } }$, $\overrightarrow{\mathrm{ DC } } \cdot \overrightarrow{\mathrm{ DA } }$ も同様に $1$ だとわかります。

3つの内積が等しいことから、①、②の左辺はともに $0$ であることがわかります。よって、\[ y=x-1, \ z=x-1 \]が成り立ちます。これと DA の長さが $\sqrt{2}$ であることを使うと
\begin{eqnarray} (x-2)^2+y^2+z^2 &=& 2 \\[5pt] (x-2)^2+(x-1)^2+(x-1)^2 &=& 2 \\[5pt] x^2-4x+4 +2x^2-4x+2 &=& 2 \\[5pt] 3x^2-8x+4 &=& 0 \\[5pt] (3x-2)(x-2) &=& 0 \\[5pt] x &=& 2,\ \frac{2}{3} \\[5pt] \end{eqnarray}が得られます。今、 $x\gt 1$ の範囲で考えているので、 $x=2$ となります。これより、 $y=z=1$ も得られます。

解答

エ：2
オカ：60
キ：1
クケコ：211

解答編つづき

問題

(3) $(x,y,z) = \left(\mybox{ク}, \mybox{ケ}, \mybox{コ}\right)$ のときを考える。線分 AB の中点を P、線分 DA を $1:2$ に内分する点を Q、線分 DC を $t:(1-t)\ (0\lt t \lt 1)$ に内分する点を R とする。三角形 PQR の面積 S が最小になるときの t の値を求めよう。

解説

(2)より、\[ (x,y,z)=(2,1,1) \]のときを考えます。

P は線分 AB の中点なので、座標は\[ \left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}, 0\right) \]となります。

Q は線分 DA を $1:2$ に内分する点なので、座標は\begin{eqnarray} & & \left(\frac{1\cdot2+2\cdot2}{3}, \frac{1\cdot0+2\cdot1}{3}, \frac{1\cdot0+2\cdot1}{3}\right) \\[5pt] &=& \left(2, \frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right) \end{eqnarray}となります。 R は線分 DC を $t:(1-t)$ に内分する点なので、座標は\begin{eqnarray} & & \left(t\cdot1+(1-t)\cdot2, t\cdot0+(1-t)\cdot1, t\cdot1+(1-t)\cdot1\right) \\[5pt] &=& \left(2-t, 1-t, 1\right) \end{eqnarray}となります。

これをもとに、以下の問題を解いていきます。

解答編つづき

問題

\begin{eqnarray} & & |\overrightarrow{ \mathrm{ PQ } }|^2 = \frac{\myBox{サシ} }{\myBox{スセ} } \\[5pt] & & |\overrightarrow{ \mathrm{ PR } }|^2 = \myBox{ソ}t^2 -\myBox{タ}t +\frac{\myBox{チ} }{\myBox{ツ} } \\[5pt] \end{eqnarray}であり、 $\overrightarrow{ \mathrm{ PQ } }$ と $\overrightarrow{ \mathrm{ PR } }$ のなす角を $\theta$ とすると、 $S = \dfrac{1}{2} |\overrightarrow{ \mathrm{ PQ } }| |\overrightarrow{ \mathrm{ PR } }| \sin \theta$ なので \begin{eqnarray} 4S^2 &=& |\overrightarrow{ \mathrm{ PQ } }|^2 |\overrightarrow{ \mathrm{ PR } }|^2 \sin^2 \theta \\[5pt] &=& |\overrightarrow{ \mathrm{ PQ } }|^2 |\overrightarrow{ \mathrm{ PR } }|^2 -|\overrightarrow{ \mathrm{ PQ } }|^2 |\overrightarrow{ \mathrm{ PR } }|^2 \cos^2 \theta \\[5pt] &=& t^2 -\frac{\myBox{テ} }{\myBox{ト} }t +\frac{\myBox{ナ} }{\myBox{ニヌ} } \\[5pt] \end{eqnarray}である。よって、 S は $t=\dfrac{\myBox{ネ} }{\myBox{ノハ} }$ のとき最小になる。

解説

先ほどの計算から
\begin{eqnarray} \overrightarrow{ \mathrm{ PQ } } &=& \left(2, \frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right) -\left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}, 0\right) \\[5pt] &=& \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{6}, \frac{2}{3}\right) \\[5pt] \end{eqnarray}なので、 \begin{eqnarray} |\overrightarrow{ \mathrm{ PQ } }|^2 &=& \left(\frac{1}{2}\right)^2 +\left(\frac{1}{6}\right)^2 +\left(\frac{2}{3}\right)^2 \\[5pt] &=& \frac{1}{4} +\frac{1}{36} +\frac{4}{9} \\[5pt] &=& \frac{9+1+16}{36} \\[5pt] &=& \frac{13}{18} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

また、
\begin{eqnarray} \overrightarrow{ \mathrm{ PR } } &=& \left(2-t, 1-t, 1\right) -\left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}, 0\right) \\[5pt] &=& \left(\frac{1}{2}-t, \frac{1}{2}-t, 1\right) \\[5pt] \end{eqnarray}なので、 \begin{eqnarray} |\overrightarrow{ \mathrm{ PR } }|^2 &=& \left(\frac{1}{2}-t\right)^2 +\left(\frac{1}{2}-t\right)^2 +1^2 \\[5pt] &=& \frac{1}{4}-t+t^2 +\frac{1}{4}-t+t^2 +1 \\[5pt] &=& 2t^2 -2t +\frac{3}{2} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

さらに、 $|\overrightarrow{ \mathrm{ PQ } }| |\overrightarrow{ \mathrm{ PR } }| \cos \theta = \overrightarrow{ \mathrm{ PQ } } \cdot \overrightarrow{ \mathrm{ PR } }$ であり、この内積は
\begin{eqnarray} & & \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{6}, \frac{2}{3}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}-t, \frac{1}{2}-t, 1\right) \\[5pt] &=& \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2}-t\right) +\frac{1}{6} \left(\frac{1}{2}-t\right) +\frac{2}{3}\cdot 1 \\[5pt] &=& \frac{1}{4}-\frac{t}{2} +\frac{1}{12}-\frac{t}{6} +\frac{2}{3} \\[5pt] &=& \frac{-3t-t}{6} +\frac{3+1+8}{12} \\[5pt] &=& -\frac{2}{3}t +1 \\[5pt] \end{eqnarray}であることを使うと \begin{eqnarray} 4S^2 &=& |\overrightarrow{ \mathrm{ PQ } }|^2 |\overrightarrow{ \mathrm{ PR } }|^2 \sin^2 \theta \\[5pt] &=& |\overrightarrow{ \mathrm{ PQ } }|^2 |\overrightarrow{ \mathrm{ PR } }|^2 -|\overrightarrow{ \mathrm{ PQ } }|^2 |\overrightarrow{ \mathrm{ PR } }|^2 \cos^2 \theta \\[5pt] &=& \frac{13}{18} \left(2t^2 -2t +\frac{3}{2}\right) -\left(-\frac{2}{3}t +1\right)^2 \\[5pt] &=& \frac{13}{9}t^2 -\frac{13}{9}t +\frac{13}{12} -\frac{4}{9}t^2 +\frac{4}{3}t -1 \\[5pt] &=& t^2 -\frac{1}{9}t +\frac{1}{12} \\[5pt] \end{eqnarray}と変形できます。

これを平方完成すると\[ \left(t-\frac{1}{18}\right)^2-\frac{1}{18^2}+\frac{1}{12} \]となり、 $t=\dfrac{1}{18}$ は今考えている $0\lt t \lt 1$ の範囲に含まれているため、 S が最小値をとるのはこのときであることがわかります。