【標準】二次方程式の解の関係と係数

ここでは、二次方程式の解にある関係があるときに、係数を求める、という問題を考えます。解と係数の関係を応用した問題です。

【広告】

二次方程式の解の関係から係数を求める

例題
二次方程式 $x^2-2x+k=0$ の異なる2つの解について、片方の解の2乗がもう片方の解になっているとき、 k の値を求めなさい。

この二次方程式の解は $x=1\pm\sqrt{1-k}$ ですが、これを2乗するというのは面倒ですね。ルートも k も入っているので、できれば直接計算したくはないですよね。

ところで、 x の項を見ると、この係数は $-2$ です。扱いやすいです。しかも、ここは、2つの解の和が反映されているんでしたね。これを利用すれば、すぐに解を求めることができます。

この二次方程式の解は、 $\alpha$, $\alpha^2$ と書くことができます。解と係数の関係から\[ \alpha +\alpha^2=2 \]となります。よって
\begin{eqnarray}
\alpha^2+\alpha-2 &=& 0 \\[5pt] (\alpha+2)(\alpha-1) &=& 0 \\[5pt] \alpha &=& 1,-2
\end{eqnarray}となります。 k のことは横に置いていても、ここまで求められるんですね。

ここで注意が必要なのは、解は、 $\alpha$, $\alpha^2$ だったので、 $\alpha=1$ は「異なる2つの解」という条件に合いません。結局、 $\alpha=-2$ だけが得られます。

再び、解と係数の関係から、
\begin{eqnarray}
k
&=&
\alpha \cdot \alpha^2 \\[5pt] &=&
\alpha^3 \\[5pt] \end{eqnarray}が得られます。これに先ほどの結果を代入すると、 $k=-8$ となります。これが求める解です。

ちなみに、二次方程式がどうなるのか、実際に確かめてみましょう。

$k=-8$ とすると、二次方程式は
\begin{eqnarray}
x^2-2x-8 &=& 0\\[5pt] (x-4)(x+2) &=& 0\\[5pt] x &=& -2,4
\end{eqnarray}と解くことができます。確かに、片方の解を2乗すると、もう片方の解になっていますね。ちなみに、 $k=1$ のときは
\begin{eqnarray}
x^2-2x+1 &=& 0\\[5pt] (x-1)^2 &=& 0\\[5pt] x &=& 1
\end{eqnarray}となり、重解を持つことが確認できます。 $1^2=1$ と考えることもできますが、今の問題ではこの値は条件を満たしません。

おわりに

ここでは、二次方程式の解にある関係がある場合に、係数を求める問題を見ました。解を直接計算して条件を作るよりも、解と係数の関係を使ったほうが楽に考えられます。