【標準】平行四辺形と座標

ここでは、平行四辺形のうち3つの頂点の座標がわかっているときに、残りの頂点の座標を求める問題を考えます。

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平行四辺形の残りの頂点の座標

例題1
3点 $\mathrm{A}(1,3)$, $\mathrm{B}(2,1)$, $\mathrm{C}(3,2)$ を頂点とする平行四辺形 ABCD を作るとき、残りの頂点 D の座標を求めなさい。

図をかいて考えてみましょう。

求める D は上の図のような場所にあることがわかります。

平行四辺形はいろいろな性質があるので、座標を求めるときにもいろいろ使えそうです。ここでは、2種類の方法で考えてみましょう。

まずは、 ADBC が等しくて平行であることを使って考えてみましょう。このことから、 A から、 BC と同じ向きに同じだけ移動すれば、 D に到達することがわかります。よって、 $\mathrm{ D }(x,y)$ とすると
\begin{eqnarray}
x
&=&
1+(3-2) \\
&=&
2 \\[5pt] y
&=&
3+(2-1) \\
&=&
4 \\[5pt] \end{eqnarray}と求められるので、 D の座標は $(2,4)$ であることがわかります。

また、他の出し方として、対角線の交点に着目する方法もあります。平行四辺形の対角線は、それぞれの中点で交わります。なので、 AC と BD の中点が等しいことから
\begin{eqnarray}
\frac{1+3}{2}=\frac{2+x}{2}, \quad \frac{3+2}{2}=\frac{1+y}{2}
\end{eqnarray}が成り立つことがわかります。これらを解けば、\[ x=2, y=4 \]が得られるので、 D の座標は $(2,4)$ であることがわかります。

どちらで解くこともできます。ちなみに、1つ目の方法は、別のところで学ぶ、ベクトルの考え方に近いです。

平行四辺形の残りの頂点の座標その2

例題2
3点 $\mathrm{A}(1,3)$, $\mathrm{B}(2,1)$, $\mathrm{C}(3,2)$ を頂点とする平行四辺形を作るとき、残りの頂点 D の座標を求めなさい。

先ほどと問題文が似ていますが、どこが違うかわかるでしょうか。

まず、先ほどの問題文では「平行四辺形 ABCD を作る」となっていた部分が、この例題では「平行四辺形を作る」となっています。この違いで、何が変わってくるでしょうか。

この問題文の違いで、平行四辺形の頂点の順番が違ってきます。先ほどの問題文では、平行四辺形の頂点の順番が A, B, C, D と指定されていましたが、今回は指定されていません。そのため、 A, D, B, C などという順番もありえるんですね。

同じ名前だと区別がつきにくいので、 $\mathrm{ D }’$ という名前を付けてみました。この順番でも平行四辺形は作れますね。先ほどと同じように計算すれば、この点の座標は $(0,2)$ だとわかります。この点も、この例題の答えに含まれます。

他に平行四辺形は作れないでしょうか。1つ目の例題では、 A, C の間に D がある場合を考えました。先ほどは、 A, B の間にある場合を考えました。こう考えると、もう1つありますね。 B, C の間に D がある場合です。

これもやはり平行四辺形となります。この点の座標も先ほどと同様に計算して $(4,0)$ と求めることができます。

以上から、 D の座標は、 $(2,4)$, $(0,2)$, $(4,0)$ となります。3点が答えになります。

問題文に頂点の順番が指定されているかどうかで答えは変わってきます。何が聞かれているか把握して答えるようにしましょう。

おわりに

ここでは、平行四辺形の頂点の座標を求める問題を考えました。対辺の長さが等しくて平行であることを使うか、対角線が中点で交わることを使えば、残りの頂点の座標を求めることができました。頂点の順番が指定されているかどうかには注意しましょう。

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