【標準】平方完成のやり方

🕒 2016/07/15 🔄 2023/05/01

【標準】二次関数y=ax^2+bx+cのグラフ（具体例）では、二次関数のグラフをかくために、頂点の座標を求める必要があり、そのためには平方完成を行わなければいけない、ということをみました。ここでは、この平方完成のやり方をもう少し詳しく見ていきます。

📘 目次

例1

まずは、二次式 $x^2+4x+5$ を平方完成することを考えます。平方完成とは $a(x-p)^2+q$ の形に変形することでした（参考：【標準】二次関数y=ax^2+bx+cのグラフ（具体例））。こうすることで、x の項が消え、二次関数のグラフの頂点が $(p,q)$ になることがわかるのでしたね。

符号はちょっと置いといて、最終的に $(x+\bigcirc)^2$ の部分が作れればいいんですね。これを展開すると $x^2 +2\bigcirc x+\bigcirc ^2$ が出てきます。今の場合、この $2\bigcirc x$ の部分が $+4x$ になるのだから、 $\bigcirc=2$ だとわかります。

このことを踏まえて次のように式変形をします。
\begin{eqnarray} x^2+4x+5 &=& (x^2+4x+4)-4+5 \\ &=& (x+2)^2+1 \\ \end{eqnarray}これで完成です。

上の式変形でもわかったかもしれませんが、 $x^2+\Box x$ という部分があれば $\displaystyle \left( x +\frac{\Box}{2} \right) ^2 -\left( \frac{\Box}{2} \right) ^2$ に置き換えればいいんですね。実際、展開すると元に戻ります。しかも、x の係数の部分も見かけ上消えてくれます。

xの係数を2で割ったものを考えればいい、ということがわかります。あとは定数項の部分を計算していくだけです。

例2

$x^2$ の係数が $1$ でない例も見てみます。二次式 $-2x^2+3x-1$ の平方完成をしてみます。まず $x^2$ の係数で x までをくくります。
\begin{eqnarray} -2x^2+3x-1 &=& -2\left( x^2-\frac{3}{2}x \right) -1 \\ \end{eqnarray}

カッコの中の平方完成は、先ほどと同様にできます。 x の部分がうまく消えるように、 x の係数を2で割ったものを考えればいいんでしたね。
\begin{eqnarray} & & -2\left( x^2-\frac{3}{2}x \right) -1 \\ &=& -2\left\{ x^2-\frac{3}{2}x +\left(\frac{3}{4}\right)^2 -\left(\frac{3}{4}\right)^2 \right\} -1 \\ &=& -2\left\{ \left(x-\frac{3}{4} \right)^2 -\frac{9}{16} \right\} -1 \\ &=& -2 \left( x-\frac{3}{4} \right)^2 +\frac{9}{8} -1 \\ &=& -2 \left( x-\frac{3}{4} \right)^2 +\frac{1}{8} \\ \end{eqnarray}これで完成です。分数だとごちゃごちゃしてきますが、慣れるようにしましょう。

出てきた計算が不安な場合は、展開して元に戻るか確認してみましょう。