【基本】連立不等式と領域

ここでは、連立不等式が表す領域を見ていきます。

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連立不等式と領域(2直線)

例題1
次の連立不等式が表す領域を図示しなさい。
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x +y \geqq 0 \\
2x -y \geqq -4
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}

「連立不等式」は、「両方の不等式を満たす」ことを意味しています。つまり、2つの領域の重なっている部分が答えとなります。

1つ目の式から $y\geqq -x$ が得られます。これを図示すると、次のようになります(境界線上の点を含む)。

2つ目の式から $y\leqq 2x+4$ が得られます。これを図示すると、次のようになります(境界線上の点を含む)。

以上から、この2つの重なっている部分は、以下のようになります(境界線上の点を含む)。

これが、この連立不等式を満たす領域となります。

連立不等式と領域(直線と放物線)

例題2
次の連立不等式が表す領域を図示しなさい。
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
y \lt x+2 \\
y \geqq x^2
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}

考え方としては同じです。2つの領域の重なる部分を考えます。

それぞれの不等式の表す領域は、1つ目が直線の下側、2つ目が放物線の上側であることがわかります。直線と放物線との交点は
\begin{eqnarray}
x^2 &=& x+2 \\
x^2-x-2 &=& 0 \\
(x-2)(x+1) &=& 0 \\
x &=& 2,-1
\end{eqnarray}から、 $(2,4),(-1,1)$ となります。

以上から、求める領域は次のようになります。

ただ、ここで注意しないといけないのは、境界線の点の扱いです。例題1はどちらの式にも等号が入っていたので、境界線上の点はすべて含まれました。しかし、この例題2は、片方は含まず、もう片方は含む、となっています。そのため、直線上の点は含まず、放物線上の点は含む、となります。

では、交点はどうでしょうか。2つの交点 $(2,4),(-1,1)$ は領域に含まれるでしょうか。直線に着目すれば含まれないし、放物線に着目すれば含まれます。どちらになるのでしょうか。

これは、1つ目の不等式を満たさないことから、含まれないことがわかります。連立不等式の場合、どちらの不等式も満たさないといけないため、1つ目の不等式を満たさないこれらの交点は、除外されることになります。

よって、求める領域は、「上の図の色の塗った部分。ただし、境界線は、直線 $y=x+2$ 上の点を含まず、それ以外は含む」となります。

領域を求めるときには、境界線の点、特に、境界線が重なった部分の扱いにも注意しましょう。余分な点が含まれていたり、必要な点が除かれていると、正しい答えにはなりません。

なお、少し変わった表記ですが、次の不等式を考えてみましょう。\[ x^2 \leqq y \lt x+2 \]これは、左側と右側の2つの不等式が成り立つということです。つまり、この例題2と同じ内容です。表現方法は違いますが、同じ問題です。答えも、もちろん同じになります。

連立不等式と領域(直線と円)

例題3
次の連立不等式が表す領域を図示しなさい。
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
y \lt x+2 \\
x^2+y^2 \geqq 4
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}

これも、片方の不等号には等号があり、片方にはないので、境界線の交点にはよく注意しましょう。

1つ目の不等式は、直線の下側を表し、2つ目の不等式は円の外側を表しています。この直線と円の交点は
\begin{eqnarray}
x^2+(x+2)^2 &=& 4 \\[5pt] x^2+x^2+4x+4 &=& 4 \\[5pt] x(x+2) &=& 0 \\[5pt] x &=& -2,0 \\[5pt] \end{eqnarray}なので、座標は $(-2,0),(0,2)$ となります。

よって、求める領域は図の色の塗った部分になります。

境界線上の点については、直線 $y=x+2$ 上の点を除き、他の点を含む、となります。

2つの領域を合わすだけでなく、境界線上の点がどうなるかまで考えましょう。

おわりに

ここでは、連立不等式が表す領域について考えました。基本的には、それぞれの不等式が表す領域の共通部分を考えればいいのですが、境界線上の点がどうなるかも考えないといけないのでしたね。細かいですが注意しましょう。