なかけんの数学ノート

【基本】二次関数の最大・最小

ここでは、二次関数の最大・最小を考えます。関数全般の最大・最小は、【基本】関数の最大値・最小値に書きましたが、ここでは二次関数に限定した内容で考えていきます。実数全体が定義域の場合を考えます。

二次関数の最大・最小

例として、二次関数 $y=x^2+8x+5$ の最大値と最小値を考えてみましょう。このような最大値や最小値を考える問題は、関数がどのような状況になっているかを把握するため、グラフを描くのが基本です。そのため、まずは、グラフを描いてみましょう。

グラフを描くには、次のような式変形を行って、頂点の座標を調べればいいんでしたね。
\begin{eqnarray}
y
&=&
x^2+8x+5 \\
&=&
(x+4)^2-16+5 \\
&=&
(x+4)^2-11 \\
\end{eqnarray}このことから、グラフを描くと次のようになります。

basic-max-and-min-of-quadratic-function-01

二次関数 $y=x^2+8x+5$ の最大・最小を考えるというのは、グラフ上の点の y 座標の最大・最小を考えるということです。

最大値については、どんどん上に行けてしまい、限界はありません。なので、「最大値はない」が答えになります。一方、最小値については、y 座標が一番小さくなる点(一番下に来る点)が頂点なので、「 $x=-4$ のとき、最小値 $-11$ をとる」というのが答えになります。

例題

同じような内容ですが、もう一題考えてみます。

次の二次関数の最大値・最小値を答えなさい。\[ y = -2x^2+4x-3 \]

これも同様にグラフを描いてから考えます。

【解答】
\begin{eqnarray}
y
&=&
-2x^2+4x-3 \\
&=&
-2(x^2-2x)-3 \\
&=&
-2(x-1)^2+2-3 \\
&=&
-2(x-1)^2-1 \\
\end{eqnarray}なので、このグラフは次のようになる。
basic-max-and-min-of-quadratic-function-02
このことから、 $x=1$ のとき、最大値 $-1$ をとる。最小値はない。
【解答終】

グラフを描き、一番上と一番下の部分を探せばいいんですね。

先ほどは $x^2$ の係数が正で、下に凸のグラフだったので、「最小値は頂点の y 座標、最大値はない」という結果でした。今回は $x^2$ の係数が負で、上に凸のグラフだったので、「最大値は頂点の y 座標、最小値はない」という結果に変わっています。グラフを描けば、すぐにわかりますね。

まとめ

ここでは、(定義域に制限のない)二次関数の最大・最小を考えました。まずはグラフを描き、それを見ながら最大値と最小値を考えればいいんでしたね。まとめるとこうなります。

二次関数 $y=a(x-p)^2-q$ は、
 $a\gt 0$ なら、 $x=p$ で最小値 q をとる。最大値はない。
 $a\lt 0$ なら、 $x=p$ で最大値 q をとる。最小値はない。

これが一番簡単なケースです。次は定義域に制限がついた場合を見てみます。なお、今は簡単なグラフなのでグラフを描くメリットが薄いですが、徐々に、グラフを描かないとどういう状況なのかがわからなくなってきます。

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対象者: 数学I
分野: 二次関数
トピック: 二次関数
レベル: 基本
キーワード: 二次関数, 最大・最小
更新日:2016/07/24