なかけんの数学ノート

【基本】二次関数の決定(x軸との交点指定)

【基本】二次関数の決定(3点指定)【基本】二次関数の決定(頂点・軸指定)に続いて、ここでも二次関数の決定について考えます。ここでは、 x 軸との交点が与えられている場合を考えます。

【目次】

例題

【例題】
ある二次関数のグラフが、点 $(-1,0)$, $(2,0)$, $(3,8)$ を通るとき、この二次関数を求めなさい。

3点が指定されているので、 $y=ax^2+bx+c$ とおいて、係数を求める、という方法で解くことができます。【基本】二次関数の決定(3点指定)で見た方法です。まずはこの方法で解いてみましょう。

3点を通ることから、次の3つの式が成り立ちます。
\begin{eqnarray}
a-b+c &=& 0 \quad \cdots (1)\\
4a+2b+c &=& 0 \quad \cdots (2)\\
9a+3b+c &=& 8 \quad \cdots (3)\\
\end{eqnarray}

(2)-(1)より、\[ 3a+3b=0 \]これから $b=-a$ がわかります。
(3)-(2)より\[ 5a+b=8 \]これに $b=-a$ を代入すると\[ 4a=8 \]から $a=2$ が得られ、 $b=-2$ もわかります。(1)に代入すれば、 $c=-4$ も得られます。

以上から、 $y=2x^2-2x-4$ が求める二次関数となります。

と、ここまで長く書いてきましたが、実は今の場合はもっと簡単に求めることができます。通る点のうち、 $(-1,0)$, $(2,0)$ は x 軸上の点なんですよね。ということは、次の二次方程式\[ ax^2+bx+c=0 \]の解が $x=-1,2$ であるということです。このことから、求める二次関数は\[ y=a(x+1)(x-2) \]とかけることがわかります。あとは、 a を求めればおしまいです。

グラフは$(3,8)$ を通るので\[8=a(3+1)(3-2)\]だから $a=2$ であることがわかります。よって、\[y=2(x+1)(x-2)\]が求める二次関数となります。展開すると上で求めたものと一致します。

おわりに

x 軸との交点」というのは有力な情報で、二次関数を特定するのにすごく役立ちます。単に「グラフがこの点を通る」というふうにしか考えなければ、例題の前半のような解答になりますが、「グラフがx軸とこの点で交わる」と考えれば、後半の解答のようにかなり計算量が減ります。この場合には、\[y=a(x-\alpha)(x-\beta)\]と置くことがポイントです。

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対象者: 数学I
分野: 二次関数
トピック: 二次関数
レベル: 基本
キーワード: 二次関数
更新日:2016/09/02