なかけんの数学ノート

東京大学 理系 2014年度 第2問 解説

問題編

問題

 a を自然数(すなわち $1$ 以上の整数)の定数とする。
 白球と赤球があわせて $1$ 個以上入っている袋 U に対して、次の操作(*)を考える。

(*) 袋 U から球を $1$ 個取り出し、
 (i) 取り出した球が白球のときは、袋 U の中身が白球 a 個、赤球 $1$ 個となるようにする。
 (ii) 取り出した球が赤球のときは、その球を袋 U へ戻すことなく、袋 U の中身はそのままにする。

 はじめに袋 U の中に、白球が $a+2$ 個、赤球が $1$ 個入っているとする。この袋 U に対して操作(*)を繰り返し行う。
 たとえば、 $1$ 回目の操作で白球が出たとすると、袋 U の中身は白球 a 個、赤球 $1$ 個となり、さらに $2$ 回目の操作で赤球が出たとすると、袋 U の中身は白玉 a 個のみとなる。
 n 回目に取り出した球が赤球である確率を $p_n$ とする。ただし、袋 U の中の個々の球の取り出される確率は等しいものとする。

(1) $p_1$, $p_2$ を求めよ。
(2) $n\geqq 3$ に対して $p_n$ を求めよ。
(3) $\displaystyle \lim_{m\to\infty} \frac{1}{m} \sum_{n=1}^m p_n$ を求めよ。

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考え方

(1)をヒントにして、(2)を考えます。 n 回目の取り出しの際、袋の中がどうなっているかは $(n-1)$ 回目で何を取り出したかによって変わってきます。なので、 n 回目と $(n-1)$ 回目との関係を考えて漸化式を作ることを考えます。それができれば、あとは数列のよくある計算です。

(3)は和を直接計算することができるので問題ないでしょう。

確率と数列を組み合わせた問題はよく出ますが、この問題はそうした問題の中でも解きやすい方です。

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試験名: 大学入試, 東大理系, 東京大学
年度: 2014年度
分野: 場合の数と確率, 数列, 関数と極限
トピック: 確率, 数列, 関数と極限
レベル: ふつう
キーワード: 球を取り出す, 確率, 極限, 等比数列の和, 漸化式
更新日:2016/12/18