東京大学 理系 2014年度 第1問 解説

問題編

問題

 1辺の長さが $1$ の正方形を底面とする四角柱 OABC-DEFG を考える。3点 P, Q, R を、それぞれ辺 AE, 辺 BF, 辺 CG 上に、4点 O, P, Q, R が同一平面上にあるようにとる。四角形 OPQR の面積を S とおく。また、 $\angle \mathrm{ AOP }$ を $\alpha$, $\angle \mathrm{ COR }$ を $\beta$ とおく。

(1) S を $\tan\alpha$ と $\tan\beta$ を用いて表せ。
(2) $\displaystyle \alpha+\beta=\frac{\pi}{4}$, $\displaystyle S=\frac{7}{6}$ であるとき、 $\tan\alpha+\tan\beta$ の値を求めよ。さらに、 $\alpha\leqq \beta$ のとき、 $\tan\alpha$ の値を求めよ。
tokyo-u-r-2014-1-01

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考え方

(1)は、各点の座標が簡単に出せるので、ベクトルで出てくる三角形の公式を使いましょう。

(2)では、 $\tan\alpha$ を求めるより先に $\tan\alpha+\tan\beta$ を求めなさい、と言われています。これは、「 $\tan\alpha$ を直接求めることはやめましょう」や「 $\tan\alpha+\tan\beta$ をひとかたまりだと思って考えなさい」というヒントです。出題者のやさしさです。これを無視して $\tan\alpha$ を直接求めようとすると、4次方程式が出てきてしまいます。