東京大学 理系 2012年度 第4問 解説

問題編

問題

 $n$ を2以上の整数とする。自然数(1以上の整数)の n 乗になる数を n 乗数と呼ぶことにする。以下の問いに答えよ。

(1) 連続する2個の自然数の積は n 乗数でないことを示せ。
(2) 連続する n 個の自然数の積は n 乗数でないことを示せ。

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考え方

積に関する問題なので、素因数分解をしたり、倍数に着目して考えていきましょう。どちらも、「連続する2つの自然数が互いに素であること」を使います。

なお、問題文は似ていますが、(2)を解くときに(1)の結果を使う必要はありません。