なかけんの数学ノート

センター試験 数学II・数学B 2017年度追試 第2問 解説

【必答問題】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$関数 $f(x)=x^3-5x^2+3x-4$ について考える。

(1) 関数 $f(x)$ の増減を調べよう。 $f(x)$ の導関数は\[ f'(x) = \myBox{ア}x^2 -\myBox{イウ}x+\myBox{エ} \]であり、 $f(x)$ は $x=\dfrac{\myBox{オ}}{\myBox{カ}}$ で極大値、 $x=\myBox{キ}$ で極小値をとる。よって、 $x\geqq 0$ の範囲における $f(x)$ の最小値は $\myBox{クケコ}$ である。
 また、方程式 $f(x)=0$ の異なる実数解の個数は $\myBox{サ}$ 個である。

(2) 曲線 $y=f(x)$ 上の点 $(0,f(0))$ における接線を l とすると、 l の方程式は $y=\myBox{シ}x-\myBox{ス}$ である。また、放物線 $y=x^2+px+q$ を C とし、 C は点 $(a,\mybox{シ}a-\mybox{ス})$ で l と接しているとする。このとき、 p, qa を用いて\[ p=\myBox{セソ}a+\myBox{タ}, \ q=a^{\myBox{チ}}-\myBox{ツ} \]と表される。

(3) (2)の放物線 C は、 $0\leqq x \leqq 1$ の範囲では、 x 軸とただ1点 $(\beta,0)$ で交わり、 $0\lt \beta \lt 1$ であるとする。このとき、 $g(x)=x^2+px+q$ とおけば\[
g(0)g(1) = a(a+\myBox{テ})(a-\myBox{ト})^2 \lt 0 \]である。 $(a-\mybox{ト})^2$ は負にならないので、 a の値の範囲は $\myBox{ナニ} \lt a \lt \myBox{ヌ}$ であり、 $g(0)\myBox{ネ}0$, $g(1)\myBox{ノ}0$ である。ただし、 $\myBox{ネ}$ と $\myBox{ノ}$ については、当てはまるものを、次の 0 ~ 2 のうちから一つずつ選べ。同じものを選んでもよい。

 0: $\lt$
 1: $=$
 2: $\gt$

 放物線 C の $0\leqq x \leqq \beta$ の部分と、 x 軸および y 軸で囲まれた図形の面積を S とする。また、 C の $\beta \leqq x \leqq 1$ の部分と、 x 軸および直線 $x=1$ で囲まれた図形の面積を T とする。このとき、 a の値によらず、\[ \int_0^1 g(x)dx = \myBox{ハ} \]が成り立つ。 $\myBox{ハ}$ に当てはまるものを、次の 0 から 7 のうちから一つ選べ。

 0: $S+T$
 1: $\dfrac{S+T}{2}$
 2: $2S+T$
 3: $2T+S$
 4: $S-T$
 5: $T-S$
 6: $2S-T$
 7: $2T-S$

したがって、 $S=T$ となる a の値を求めると\[ a = \frac{\myBox{ヒ}-\sqrt{\myBox{フヘ}}}{\myBox{ホ}} \]である。

[広告]

考え方

(1)から、いきなり増減表をかいて考える問題です。どれも基本的な問題ですが、序盤にしては難しめです。

(2)は、「接する」という条件をどう使うかがポイントです。判別式が0であること、接線の係数や接点が同じであることを利用する方法がありますが、文字が多いので煩雑になってしまいます。係数比較を使うのが一番簡単でしょう。

(3)は、(2)ができていないとまったくできません。前半は、放物線の位置関係を求めるための問題です。これを利用して後半の積分を考えます。 ST を直接求める必要はありません。

p, qa の式に置き換えるのは、最後の最後にしたほうがいいでしょう。積分をする前に代入すると、ごちゃごちゃしてしまうので大変です。

次のページへ進む ⇒

[広告]
試験名: 大学入試, センター試験, センターIIB
年度: 2017年度
分野: 微分と積分の基礎
トピック: 微分(文系), 積分(文系)
レベル: ややむずい
キーワード: 接線, 重解, 判別式, 恒等式, 積分, 増減表, 微分
更新日:2017/06/05