センター試験 数学II・数学B 2016年度追試 第5問 解説

問題編

問題

(注:正規分布表は省略しています)

 ある母集団の確率分布が平均 m 、標準偏差 $9$ の正規分布であるとする。
 以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて29ページの正規分布表を用いてもよい。

(1) $m=50$ のときに、この母集団から無作為に抽出される標本の値を X とする。このとき\[ P(X\geqq 45.5) = 0.[アイウエ], \quad P(X\geqq 63.5) = 0.[オカキク] \]が成り立つ。

(2) $m=50$ のときに、この母集団から無作為に大きさ $144$ の標本を抽出すると、その標本平均の平均(期待値)は[ケコ]、標準偏差は[サ].[シス]である。

(3) 母平均 m が分かっていないときに、無作為に大きさ $144$ の標本を抽出したところ、その標本平均の値は $51.0$ であった。母平均 m に対する信頼度 95% の信頼区間は$[セソ].[タ]\leqq m \leqq [チツ].[テ]$ である。

(4) 母平均 m がわかっていないときに、(3)と同様に、無作為に大きさ $144$ の標本を抽出して母平均 m に対する信頼度 95% の信頼区間を求めることを、304回繰り返す。このとき、それらの信頼区間のうち、母平均 m を含むものの数を Y とすると、確率変数 Y は二項分布に従うので、平均は[トナニ].[ヌ]、標準偏差は[ネ].[ノ]である。
 $Y\leqq 285$ となる確率の近似値を求めよう。ここで\[ P(Y\leqq 285) = P\left( \frac{Y-[トナニ].[ヌ]}{[ネ].[ノ]} \leqq -[ハ].[ヒフ] \right) \]である。標準正規分布に従う確率変数を Z とすると、304は十分に大きいので、求める確率の近似値は正規分布表から次のように求められる。\[ P(Z\leqq -[ハ].[ヒフ])=0.[ヘホ] \]

考え方

(1)は、標準正規分布になるように変形して考えます。(2)は標本平均の基本的な計算です。(3)は、母平均の推定です。

(4)では、「母平均 m に対する信頼度 95% の信頼区間」が「信頼区間に母平均 m が含まれる確率が 95%」と言い換えて解いていきます。ここでは、標本の大きさを使わなくても解けます。