センター試験 数学II・数学B 2016年度追試 第4問 解説

問題編

問題

 正八角形 $\mathrm{ P }_0\mathrm{ P }_1\mathrm{ P }_2\mathrm{ P }_3\mathrm{ P }_4\mathrm{ P }_5\mathrm{ P }_6\mathrm{ P }_7$ を考える。 $\overrightarrow{ \mathrm{ \mathrm{ P }_0\mathrm{ P }_1 } } = \overrightarrow{ a }$, $\overrightarrow{ \mathrm{ \mathrm{ P }_0\mathrm{ P }_7 } } = \overrightarrow{ b }$ とおく。

(1) 正八角形の1つの内角は $[アイウ]^{\circ}$ である。また、 $\angle \mathrm{ P }_1\mathrm{ P }_0\mathrm{ P }_{[エ]} = 90^{\circ}$ である。

 以下の、(2)の[オ]~[ケ]、および(3)の[コ]、[サ]については、当てはまるものを、次の⓪~⑨のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

 0: $\overrightarrow{ a } + \overrightarrow{ b }$
 1: $\overrightarrow{ a } + (1+\sqrt{2})\overrightarrow{ b }$
 2: $(2+\sqrt{2})\overrightarrow{ a } + (1+\sqrt{2})\overrightarrow{ b }$
 3: $\sqrt{2}\overrightarrow{ a } + \overrightarrow{ b }$
 4: $(1+\sqrt{2})\overrightarrow{ a } + \overrightarrow{ b }$
 5: $(1+\sqrt{2})\overrightarrow{ a } + (2+\sqrt{2})\overrightarrow{ b }$
 6: $\overrightarrow{ a } + \sqrt{2}\overrightarrow{ b }$
 7: $(1+\sqrt{2}) (\overrightarrow{ a } + \overrightarrow{ b })$
 8: $(2+\sqrt{2}) (\overrightarrow{ a } + \overrightarrow{ b })$
 9: $\sqrt{2} (\overrightarrow{ a } + \overrightarrow{ b })$

(2) $k=1,2,\cdots ,7$ に対して、ベクトル $\overrightarrow{ \mathrm{ \mathrm{ P }_0\mathrm{ P }_k } }$ を $\overrightarrow{ a }$, $\overrightarrow{ b }$ を用いて表すと
\begin{eqnarray}
& &
\overrightarrow{ \mathrm{ \mathrm{ P }_0\mathrm{ P }_1 } } = \overrightarrow{ a }, \quad
\overrightarrow{ \mathrm{ \mathrm{ P }_0\mathrm{ P }_2 } } = [オ], \quad
\overrightarrow{ \mathrm{ \mathrm{ P }_0\mathrm{ P }_3 } } = [カ], \quad
\overrightarrow{ \mathrm{ \mathrm{ P }_0\mathrm{ P }_4 } } = [キ] \\
& &
\overrightarrow{ \mathrm{ \mathrm{ P }_0\mathrm{ P }_5 } } = [ク], \quad
\overrightarrow{ \mathrm{ \mathrm{ P }_0\mathrm{ P }_6 } } = [ケ], \quad
\overrightarrow{ \mathrm{ \mathrm{ P }_0\mathrm{ P }_7 } } = \overrightarrow{ b }
\end{eqnarray}である。

(3) $k=0,1,\cdots ,7$ に対して、対角線 $\mathrm{ \mathrm{ P }_{ k }\mathrm{ P }_{ k+3 } }$ と対角線 $\mathrm{ \mathrm{ P }_{ k+1 }\mathrm{ P }_{ k+4 } }$ の交点を $\mathrm{ Q }_k$ とする。ただし、 $\mathrm{ P }_8$, $\mathrm{ P }_9$, $\mathrm{ P }_{10}$, $\mathrm{ P }_{11}$ は、それぞれ $\mathrm{ P }_0$, $\mathrm{ P }_1$, $\mathrm{ P }_2$, $\mathrm{ P }_3$ を表すものとする。
 このとき、 $\overrightarrow{ \mathrm{ \mathrm{ P }_0\mathrm{ Q }_6 } }=[コ]$, $\overrightarrow{ \mathrm{ \mathrm{ P }_0\mathrm{ Q }_7 } }=[サ]$ である。

(4) $\overrightarrow{ \mathrm{ \mathrm{ Q }_6\mathrm{ Q }_7 } } = (\sqrt{[シ]}-[ス])\overrightarrow{ a }$ である。したがって、正八角形 $\mathrm{ Q }_0\mathrm{ Q }_1\mathrm{ Q }_2\mathrm{ Q }_3\mathrm{ Q }_4\mathrm{ Q }_5\mathrm{ Q }_6\mathrm{ Q }_7$ の面積は、正八角形 $\mathrm{ P }_0\mathrm{ P }_1\mathrm{ P }_2\mathrm{ P }_3\mathrm{ P }_4\mathrm{ P }_5\mathrm{ P }_6\mathrm{ P }_7$ の面積の $([セ]-[ソ]\sqrt{[タ]})$ 倍である。

考え方

正八角形というだけでインパクトが大きいですが、各設問もなかなかハードです。計算だけで攻めていくと、行き詰まってしまいます。きれいな図形なので、できる限り図形の性質を使って解くようにしましょう。

(3)はうまく平行四辺形を見つけましょう。(4)は(3)を使えばすぐ出せますが、(3)が出なくても図形的に考えれば小さな正八角形の1辺の長さを出すことはできます。