なかけんの数学ノート

センター試験 数学II・数学B 2016年度追試 第2問 解説

問題編

問題

 三角形 ABC の周の長さは $4$ であり、 $\mathrm{ AB }=\mathrm{ AC }$ であるとする。 $\mathrm{ BC }=2a$ $(0\lt a \lt 1)$ とする。

(1) $\mathrm{ AB }=[ア]-[イ]$ である。このとき、三角形 ABC の面積は $[ウエ]\sqrt{[オ]-a}$ である。

(2) 2辺 AB, AC を $x:(1-x)$ $(0\lt x \lt 1)$ に内分する点を、それぞれ P, Q とし、直線 PQ に関して点 A と対称な点を R とする。三角形 RPQ の面積は\[ ([ウエ]\sqrt{[オ]-a})x^{[カ]} \quad \cdots ① \]である。 $0\lt x\lt 1$ に対して、三角形 RPQ と三角形 ABC の共通部分の面積を $f(x)$ とおく。さらに $f(0)=f(1)=0$ とおく。
 $\displaystyle 0\lt x\leqq \frac{1}{2}$ のとき、点 R は三角形 ABC の内部または周上にある。したがって、 $f(x)$ は①に等しい。
 $\displaystyle \frac{1}{2} \lt x \lt 1$ のとき、直線 PR, QR と直線 BC との交点をそれぞれ $\mathrm{ P’ }$, $\mathrm{ Q’ }$ とする。三角形 $\mathrm{ RP’Q’ }$ と三角形 ABC は相似であり、その相似比は $([キ]x-[ク]):1$ である。したがって\[ f(x)=([ウエ]\sqrt{[オ]-a})([ケコ]x^{[サ]}+[シ]x-1) \]である。
 $y=f(x)$ のグラフを調べることにより、 $f(x)$ は $\displaystyle x=\frac{[ス]}{[セ]}$ のとき、最大値 $\displaystyle \frac{[ソタ]}{[チ]} \sqrt{[オ]-a}$ をとることがわかる。

(3) 座標平面において、 $y=f(x)$ のグラフと x 軸で囲まれた図形の面積を S とおくと\[ S=\frac{[ツ]}{[テ]} \sqrt{[オ]-a} \]となる。a が $0\lt a \lt 1$ の範囲を動くとき、 S の最大値を求めよう。

 $\displaystyle S^2=\frac{[トナ]}{[ニ]}a^3+\frac{[ヌ]}{[ニ]}a^2$ である。 $S^2$ の $0\lt a \lt 1$ における増減を調べることにより、 S は $\displaystyle a=\frac{[ネ]}{[ノ]}$ のとき、最大値 $\displaystyle \frac{[ハ]\sqrt{[ヒ]}}{[フヘ]}$ をとることがわかる。

考え方

誘導は丁寧で計算量もそんなに多くないですが、図形の性質をつかったり、考えている変数が変わったりするので、落ち着いて考える必要があります。ある変数に着目しているときは、他の変数を横に置いてから計算したほうがやりやすいでしょう。

ここまで図形とからめた問題は珍しいかもしれません。

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試験名: 大学入試, センター試験, センターIIB
年度: 2016年度
分野: 微分と積分の基礎
トピック: 微分(文系), 積分(文系)
レベル: ふつう
キーワード: 三角形の面積, 相似, 積分, 増減表, 微分
更新日:2016/12/11