なかけんの数学ノート

センター試験 数学II・数学B 2016年度追試 第1問 [2] 解説

問題編

問題

 座標平面上に原点 O を中心とする半径 $2$ の円 C と点 $\mathrm{ A }(4,3)$ がある。

(1) 点 PC 上を動くとき、線分 AP を $2:1$ に内分する点 Q の軌跡を求めよう。

 円 C の方程式は\[ x^2+y^2=[セ] \quad \cdots ⑤ \]である。 P の座標を $(s,t)$, Q の座標を $(x,y)$ とすると、 QAP を $2:1$ に内分するので\[ x=\frac{[ソ]+[タ]s}{[チ]}, y=\frac{[ツ]+[タ]t}{[チ]} \]が成り立つ。よって、 x, y は\[ \left( x-\frac{[テ]}{[ト]} \right)^2 +(y-[ナ])^2 = \left( \frac{[ニ]}{[ヌ]} \right)^2 \quad \cdots ⑥ \]を満たし、点 Q の軌跡は $\displaystyle \left( \frac{[テ]}{[ト]}, [ナ] \right)$ を中心とする半径 $\displaystyle \frac{[ニ]}{[ヌ]}$ の円である。この円を $C’$ とする。

(2) 円 $C$ と円 $C’$ の二つの交点と原点 O を頂点とする三角形の面積 S を求めよう。

 $C$ と $C’$ の二つの交点を通る直線を l とする。 $C$ と $C’$ の交点の座標 $(x,y)$ は、等式⑤と⑥を満たす。これらの差をとることにより得られる等式は\[ [ネ]x+[ノ]y=15 \]であり、これが l の方程式である。また、 Ol の距離は $\displaystyle \frac{[ハ]}{[ヒ]}$ である。
 したがって、 $\displaystyle S=\frac{[フ]\sqrt{[ヘ]}}{[ホ]}$ である。

[広告]

考え方

軌跡は苦手な人が多いですが、この問題は誘導が丁寧なので、それほど難しくはないでしょう。円 $C’$ の方程式を間違うと残りも間違ってしまうので、慎重に計算しましょう。もし時間があれば、 P を特徴的な点(例えば $(2,0)$ など)として、チェックするのもいいでしょう。また、図形から、円 $C’$ の中心は OA 上に来ることもわかるので、このことをチェックしてもいいです。

最後の三角形の面積は、直角三角形を作ってから考えましょう。交点の座標を求める必要はありません。

次のページへ進む ⇒

[広告]
試験名: 大学入試, センター試験, センターIIB
年度: 2016年度
分野: 図形と方程式
トピック: 図形の方程式
レベル: ふつう
キーワード: 三角形の面積, 内分点, 点と直線の距離の公式, 円の方程式, 軌跡
更新日:2016/12/10