なかけんの数学ノート

センター試験 数学II・数学B 2014年度追試 第3問 解説

【選択問題】(第3問~第6問から2問選択)

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$数列 $\{ a_n \}$ を\[ a_1=4,\ a_{n+1} = \frac{1}{4} \left(1+\frac{1}{n}\right)a_n +3n+3 \quad (n=1,2,3,\cdots ) \quad \cdots ① \]で定める。 $\{a_n\}$ の一般項を求めよう。まず、 $a_2=\myBox{ア}$, $a_3=\myBox{イウ}$, $a_4=\myBox{エオ}$ であることにより、 $\{a_n\}$ の一般項は\[ a_n = \myBox{カ} \quad \cdots ② \]と推測できる。 $\myBox{カ}$ に当てはまるものを、次の 0 ~ 3 のうちから一つ選べ。

 0: $n+3$
 1: $4n$
 2: $2^{n+1}$
 3: $12-\frac{8}{n}$

 ②の推測が正しいことを、数学的帰納法によって証明しよう。
[I] $n=1$ のとき、 $a_1=4$ により②が成り立つ。
[II] $n=k$ のとき、②が成り立つと仮定すると、①により\[ a_{k+1} = \frac{1}{4} \left(1+\frac{1}{k}\right)a_k +3k+3 = \myBox{キ} \]である。よって、 $n=\myBox{ク}$ のときも②が成り立つ。
[I], [II]により、②はすべての自然数 n について成り立つ。

 $\myBox{キ}$, $\myBox{ク}$ に当てはまるものを、次の 0 ~ 7 のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを選んでもよい。

 0: $k+1$
 1: $k+4$
 2: $4k+1$
 3: $4k+4$
 4: $2^{k+1}$
 5: $2^{k+2}$
 6: $12-\frac{8}{k}$
 7: $12-\frac{8}{k+1}$

 数列 $\{a_n\}$ の初項から第 n 項までの和を $S_n$ とすると\[ S_n = \myBox{ケ}n^2 +\myBox{コ}n \quad \cdots ③ \]である。

 次に $\{ a_n \}$ と同じ漸化式を満たし、初項が異なる数列 $\{b_n\}$ を\[ b_1=7, \ b_{n+1} = \frac{1}{4} \left(1+\frac{1}{n}\right)b_n +3n+3 \quad (n=1,2,3,\cdots ) \quad \cdots ④ \]で定める。 $\{ b_n \}$ の一般項を求めよう。①と④により、すべての自然数 n に対して\[ b_{n+1} -a_{n+1} = \frac{1}{4} \left(1+\frac{1}{n}\right)(b_n-a_n) \]である。
 \[ c_n = \frac{b_n-a_n}{n} \ (n=1,2,3,\cdots ) \quad \cdots ⑤ \]とおくと、数列 $\{c_n\}$ は、初項 $\myBox{サ}$, 公比 $\displaystyle \frac{\myBox{シ}}{\myBox{ス}}$ の等比数列であるから、一般項は、 $c_n = \frac{\myBox{セ}}{\myBox{ソ}^{\bbox[1px, border:2px solid]{\ \bf{ タ }\ }}}$ となる。ただし、 $\myBox{タ}$ については、当てはまるものを、次の 0 ~ 4 のうちから一つ選べ。

 0: $n$
 1: $n-1$
 2: $n+1$
 3: $n-2$
 4: $n+2$

したがって、②と⑤により\[ b_n = \mybox{カ}+\frac{\mybox{セ}n}{\mybox{ソ}^{\bbox[1px, border:1px solid]{\ \bf{ タ }\ }}} \]が成り立つ。

 数列 $\{b_n\}$ の初項から第 n 項までの和を $T_n$ とする。⑤により $b_n = a_n +nc_n$ であるから、 $\displaystyle T_n = S_n+\sum_{k=1}^n kc_k$ である。 $\displaystyle U_n = \sum_{k=1}^n kc_k$ とおくと\[ U_n -\frac{\mybox{シ}}{\mybox{ス}}U_n = \sum_{k=1}^n \frac{\myBox{チ}}{\mybox{ソ}^{k-1}} -\frac{\myBox{ツ}n}{\mybox{ソ}^n} \]となり\[ U_n = \frac{\myBox{テト}}{\myBox{ナ}}-\frac{\myBox{ニ}n+\myBox{ヌ}}{\mybox{ナ}\cdot \myBox{ネ}^{n-1}} \quad \cdots ⑥ \]が成り立つ。$T_n = S_n+U_n$ と③と⑥により、 $T_n$ を得ることができる。

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考え方

数学的帰納法がセンター試験で出題されるのは珍しいですが、推測しやすい数列なので難易度は高くないでしょう。キは、式を変形するよりも、何を示さないといけないかを考えたほうが解きやすいです。

最後は、等差×等比の和です。ここはしっかり計算しないといけませんが、よく出題される内容なので、よく練習しておけば難しくはないでしょう。簡単なわけではありませんが、どれも典型的な問題パターンです。

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試験名: 大学入試, センター試験, センターIIB
年度: 2014年度
分野: 数列
トピック: 数列, 数学的帰納法
レベル: ふつう
キーワード: 等比数列の和, 等比数列, 数学的帰納法, 和の公式, 数列
更新日:2017/02/05