なかけんの数学ノート

センター試験 数学II・数学B 2014年度追試 第2問 解説

【必答問題】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$座標平面上で、放物線 $y=2x^2$ を C とし、放物線 $y=-(x-p)^2+2$ を D とする。 CD は異なる2点で交わるとし、交点の x 座標を $\alpha$, $\beta$ (ただし、 $\alpha \lt \beta$) とする。

(1) 整式 $2x^2$ と $-(x-p)^2+2$ の差を $f(x)$ とおくと\[ f(x) = 3x^2-\myBox{ア}px+p^{\bbox[1px, border:2px solid]{\ \bf{ イ }\ }}-2 \]であり、 $\alpha$ と $\beta$ は2次方程式 $f(x)=0$ の実数解である。 CD が異なる2点で交わることから、 p のとり得る値の範囲は\[ -\sqrt{\myBox{ウ}} \lt p \lt \sqrt{\mybox{ウ}} \]である。このとき、 $\alpha +\beta$ と $\beta-\alpha$ は p を用いて
\begin{eqnarray}
\alpha+\beta &=& \frac{\myBox{エ}}{\myBox{オ}}p \\[5pt]
\beta-\alpha &=& \frac{\myBox{カ}\sqrt{\myBox{キ}-2p^2}}{\mybox{オ}} \quad \cdots ①\\[5pt]
\end{eqnarray}と表される。

(2) $-1 \lt p \lt 1$ のとき、二つの放物線 C, D で囲まれた部分の面積を S とする。また、直線 $x=-1$ と放物線 C, D で囲まれた部分の面積を $T_1$ とし、直線 $x=1$ と放物線 C, D で囲まれた部分の面積を $T_2$ とする。 $-1\lt \alpha \lt \beta \lt 1$ であるので、 $\displaystyle T_1 = \int_{-1}^{\alpha} f(x)dx$, $\displaystyle T_2 = \int_{\beta}^1 f(x)dx$ と表される。 p が $-1\lt p \lt 1$ の範囲を動くとき、 $S+T_1+T_2$ が最小になるときの p の値を求めよう。

 定積分 $\displaystyle \int_{-1}^1 f(x)dx$ の値は p を用いて\[ \int_{-1}^1 f(x)dx = \myBox{ク}p^2-\myBox{ケ} \]と表される。さらに、定積分の性質により\[ \int_{-1}^1 f(x)dx = \myBox{コ} \]が成り立つ。 $\myBox{コ}$ に当てはまるものを、次の 0 ~ 3 のうちから一つ選べ。

 0: $T_1+T_2-S$
 1: $T_1+T_2+S$
 2: $S-T_1-T_2$
 3: $T_1+T_2+2S$

 また、①により、 Sp を用いて\[ S = \frac{\myBox{サ}}{\myBox{シス}} (\myBox{セ}-p^2)\sqrt{\myBox{ソ}-2p^2} \]と表される。

 そこで、 $q=\sqrt{\mybox{ソ}-2p^2}$ とおいて、 $S+T_1+T_2$ を q を用いて表すと\[ S+T_1+T_2 = \frac{\myBox{タ}}{\myBox{チツ}}-q^2+\myBox{テ} \]となる。

 $-1\lt p \lt 1$ のとき、 q のとり得る値の範囲は $\myBox{ト} \lt q \leqq \sqrt{\myBox{ナ}}$ である。 q がこの範囲を動くときの $S+T_1+T_2$ の値の増減を調べることにより、 $S+T_1+T_2$ は $\displaystyle q=\frac{\myBox{ニ}}{\myBox{ヌ}}$ のとき、すなわち、 $\displaystyle p=\pm\frac{\sqrt{\myBox{ネノ}}}{\myBox{ハ}}$ のとき、最小になることがわかる。

考え方

(1)の後半で、解の差を求める部分は、直接計算したほうが早いでしょう。差を2乗した値を求める方針でも解くことはできますが、計算量はあまり変わらないです。

(2)は、まず積分と面積の関係をきちんと把握しましょう。サ~ソの部分は、直線と放物線に囲まれた部分の面積を求める公式を使います(新課程では詳しく習わない可能性があります)。この公式を知らないと、ここ以降の計算は絶望的です。

計算が複雑すぎたり多すぎるわけではありませんが、日ごろからよく練習しておかないと最後まで到達するのは難しいです。

次のページへ進む ⇒

[広告]
試験名: 大学入試, センター試験, センターIIB
年度: 2014年度
分野: 微分と積分の基礎
トピック: 微分(文系), 積分(文系)
レベル: ふつう
キーワード: 面積, 積分, 増減表, 微分
更新日:2017/02/03