なかけんの数学ノート

センター試験 数学II・数学B 2014年度追試 第1問 [2] 解説

【必答問題】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$$\displaystyle 0\leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$ として、\[ f(\theta) = 8 \sin\theta \cos\theta +6\cos^2\theta \]とおく。

(1) 2倍角の公式と三角関数の合成を用いると
\begin{eqnarray}
f(\theta)
&=&
\myBox{ソ}\sin2\theta +\myBox{タ}(\cos2\theta+1) \\
&=&
\myBox{チ}\sin(2\theta+\alpha) +\mybox{タ} \quad \cdots ⑤ \\
\end{eqnarray}となる。ただし、 $\alpha$ は\[ \sin\alpha = \frac{\myBox{ツ}}{\mybox{チ}}, \ \cos\alpha = \frac{\myBox{テ}}{\mybox{チ}}, \ 0 \lt \alpha \lt \frac{\pi}{2} \]を満たすものとする。

 $\displaystyle 0\leqq \theta\leqq \frac{\pi}{2}$ のとき、 $2\theta+\alpha$ のとり得る値の範囲は\[ \alpha \leqq 2\theta+\alpha \leqq \pi+\alpha \]であるから、 $\displaystyle 0 \lt \alpha \lt \frac{\pi}{2}$ に注意すると、 $\sin(2\theta+\alpha)$ は、 $\theta=\myBox{ト}$ で最大値 $1$ 、 $\theta=\myBox{ナ}$ で最小値 $\displaystyle -\frac{\myBox{ニ}}{\myBox{ヌ}}$ をとることがわかる。ただし、 $\myBox{ト}$, $\myBox{ナ}$ については、当てはまるものを、次の 0 ~ 5 のうちから一つずつ選べ。

 0: $0$

 1: $\displaystyle \frac{\pi}{4} -\alpha$

 2: $\displaystyle \frac{\pi}{4} -\frac{\alpha}{2}$

 3: $\displaystyle \frac{\pi}{2} -\alpha$

 4: $\displaystyle \frac{\pi}{2} -\frac{\alpha}{2}$

 5: $\displaystyle \frac{\pi}{2}$

 以上のことから、 $\displaystyle 0\leqq \theta\leqq \frac{\pi}{2}$ のとき、 $f(\theta)$ のとり得る値の範囲は $\myBox{ネ} \leqq f(\theta) \leqq \myBox{ノ}$ である。

(2) $f(\theta)=6$, $\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$ を満たす $\theta$ を求めよう。⑤を用いると、 $f(\theta)=6$ から\[ \sin(2\theta+\alpha) = \frac{\myBox{ハ}}{\myBox{ヒ}} \]である。ここで、 $\displaystyle \sin\alpha = \frac{\mybox{ツ}}{\mybox{チ}}$ と、すべての x について $\sin(\pi-x) = \myBox{フ}$ であることに注意すると、求める $\theta$ は $\myBox{ヘ}$ と $\myBox{ホ}$ であることがわかる。ただし、 $\myBox{フ}$ については、当てはまるものを、次の 0 ~ 3 のうちから一つ選べ。

 0: $\cos x$
 1: $-\cos x$
 2: $\sin x$
 3: $-\sin x$

また、 $\myBox{ヘ}$, $\myBox{ホ}$ については、当てはまるものを、次の 0 ~ 5 のうちから一つずつ選べ。 $\mybox{ヘ}$ と $\mybox{ホ}$ は解答の順序を問わない。

 0: $0$
 1: $\alpha$
 2: $\displaystyle \frac{\pi}{2}-\alpha$

 3: $\displaystyle \frac{\pi}{2}$
 4: $\pi-2\alpha$
 5: $\pi-\alpha$

考え方

前半は、倍角の公式、合成を使って、式の最大・最小を求める問題です。角度のとり得る範囲には注意が必要ですが、問題としてはよくある流れです。最大・最小は、図をかいて考えましょう。

後半は式の値から角度を求める問題です。2つある答えのうち片方はすぐにわかるため、難易度は高くありません。もう一つの解も、単位円を書いて考えれば、すぐに条件式を得られるでしょう。

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試験名: 大学入試, センター試験, センターIIB
年度: 2014年度
分野: 三角関数
トピック: 三角関数
レベル: ふつう
キーワード: 最大・最小, 三角関数の合成, 倍角の公式, 三角関数
更新日:2017/03/27