【標準】定積分と微分の関係

ここでは、【基本】定積分と微分の関係で見た、「定積分を微分すると元に戻る」という内容を使った問題を見ていきます。

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定積分と微分の関係を使った問題

例題
次の等式を満たす関数 $f(x)$ と定数 a の値を求めなさい。\[ \int_a^x f(t) dt = x^2-x-2 \]

左辺は、 $f(t)$ を a から x まで積分したものです。 $F'(t)=f(t)$ だとすると、左辺は\[ F(x)-F(a) \]を表している、ということですね。これを x で微分すれば、左辺からは、 $F'(x)=f(x)$ だけが残ります。このことを式で表すと、【基本】定積分と微分の関係で見たように、次のようになります。\[ \frac{d}{dx} \int_a^x f(t)dt = f(x) \]

つまり、問題文にある式の左辺を x で微分すれば $f(x)$ となるので、右辺も x で微分すれば、 $f(x)$ が求められる、ということです。このことから、
\begin{eqnarray}
f(x)
&=&
\frac{d}{dx} (x^2-x-2) \\[5pt] &=&
2x-1 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。問題文にある式は、なんだかごつい感じがしますが、左辺を x で微分すれば $f(x)$ になる、ということが理解できていれば、そんなに難しくはないでしょう。

さて、次に、定数 a を求めます。これは、先ほど求めた $f(x)$ を使って解くこともできます。左辺を計算すれば
\begin{eqnarray}
& &
\int_a^x f(t) dt \\[5pt] &=&
\int_a^x (2t-1) dt \\[5pt] &=&
\Big[ t^2-t \Big]_a^x \\[5pt] &=&
(x^2-x)-(a^2-a)
\end{eqnarray}となります。問題文の条件式から、これが $x^2-x-2=0$ ということから、最後の式の2つ目のカッコ内が $2$ になるということがわかります。つまり、\[ a^2-a-2=0 \]が成り立つということですね。これを解けば a がわかります。

ただ、この式をよく見ると、問題文の式の右辺 $x^2-x-2$ とよく似ていますね。 $x=a$ とした式になっています。このことを逆に使って、問題文の式で $x=a$ としたらどうなるかを考えてみましょう。すると\[ \int_a^a f(t) dt = 0 \]となります。 a から a までの積分は、つねに $0$ となるのでした(参考:【基本】定積分の性質)。つまり、積分を計算しなくても、問題文の条件式で $x=a$ とすれば、\[ a^2-a-2=0 \]という条件式がすぐに得られます。

この二次方程式を解けば
\begin{eqnarray}
a^2-a-2 &=& 0 \\[5pt] (a-2)(a+1) &=& 0 \\[5pt] a &=& 2,-1 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

以上から、 $f(x)=2x-1$ で、 $a=2,-1$ であることがわかります。これが答えです。

別バージョン

この例題のちょっとした別バージョンで、次のようなタイプもあります。\[ \int_x^a f(t) dt = x^2-x-2 \]積分区間が逆になっているバージョンです。

このとき、左辺を微分しても $f(x)$ にはなりません。というのも、 $F'(t)=f(t)$ とすると、左辺は $F(a)-F(x)$ となります。これを微分すると $-f(x)$ となってしまうため、 $f(x)$ にはなりません。

このことから、 x の方が下になっている場合は、\[ \int_x^a f(t) dt=-\int_a^x f(t) dt \]と入れ替えてから考えたほうがいいでしょう。積分区間の両端を入れ替えると符号が変わる、という性質は、【基本】定積分の性質でも見た内容です。

こうすれば、先ほどの例題と同じようにして、 $f(x)=-2x+1$, $a=2,-1$ であることがわかります。

おわりに

ここでは、定積分と微分の関係を使う問題として、 $f(t)$ を a から x まで積分したときの関数が分かっている状態から $f(x)$ を求める、という問題を見ました。両辺を x で微分することで、もとの関数 $f(x)$ に戻ること、そして、 $x=a$ とすると積分が $0$ になること、を利用して解くようにしましょう。