【基本】命題と集合

ここでは、命題と集合の対応について見ていきます。命題の真偽が、集合の包含関係と対応していることを見ていきます。

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例題1

例えば、数人に次のような質問をしたとします。

  • 東京ディズニーランド(以下、ランド)に行ったことがあるか
  • 東京ディズニーシー(以下、シー)に行ったことがあるか

aさん、bさん、cさん、dさん、eさんの回答が、次のような結果だったとします。○が「行ったことがある」という意味です。

ランド シー
a
b
c ×
d ×
e × ×

ここで、次の問題を考えてみます。

例題
上の結果を踏まえ、この5人に対して次の内容が正しいかどうか答えなさい。
(1) ランドに行ったことがある人は、シーにも行ったことがある
(2) シーに行ったことがある人は、ランドにも行ったことがある

まずは、(1)を考えてみます。ランドに行ったことがある人は、a~dの4人ですが、cさんやdさんはシーには行ったことがありません。なので、(1)の文章が常に成り立つわけではないので、「正しくありません」。

次に、(2)ですが、シーに行ったことがある人は、a・bの2人です。この2人はランドにも行ったことがあるので、(2)の文章は「正しい」ことがわかります。

これらのことを数学っぽく言えば、「(1)の命題は偽、(2)の命題は真」となります。

また、(1)をもう少し命題っぽく言えば、「xさんがランドに行ったことがあるならば、xさんはシーに行ったことがある」となります。「xさん」には、aさん~eさんの誰かが入ります。「xさんがランドに行ったことがある」が仮定、「xさんはシーに行ったことがある」が結論、となります。

(1)の反例は「xさんがcさんのとき」「xさんがdさんのとき」です。なお、反例をあげるときは、どちらか片方だけでかまいません。

これらの用語は、【基本】命題のところで見た内容です。

命題と集合の関係

ここまで、命題の真偽を考えてきました。そのとき、条件を満たす人を考えました。例えば、「シーに行ったことがある人は、ランドにも行ったことがある」という条件を考えたときには、「シーに行ったことがある」という条件を満たす人を具体的に考えました。

このように、命題の真偽を考えるときに、条件を満たす集合と対応させると、考えやすくなります。ベン図を使うと、冒頭の例は次のようになります。
basic-proposition-and-set-01
今考えている例では、「シーだけ」という人がいないので、上のような図になります。

この図から、「ランドに行ったことがある人は、シーにも行ったことがある」は間違いであることがわかります。cさんやdさんが入っていないからです。一方、「シーに行ったことがある人は、ランドにも行ったことがある」が正しいことがわかります。シーに行ったことがある人たちは、ランドに行ったことがある人の集合に含まれているからです。

このことを数学っぽく言ってみましょう。

  • 条件 p:xさんはランドに行ったことがある
  • 条件 q:xさんはシーに行ったことがある

とするとき、上の例題の(1)(2)の解答は次のようになります。

  • 命題: $p\implies q$ は偽
  • 命題: $q\implies p$ は真

また、条件 p, q を満たす集合を、それぞれ P, Q とすると、ベン図から次が成り立つことがわかります。

  • $P \not \subset Q$
  • $Q \subset P$

basic-proposition-and-set-02

「命題が偽」と「集合が含まれない」、「命題が真」と「集合が含まれる」が、それぞれ対応していることが分かります。

このことを一般的な事柄としてまとめると、次のようになります。

集合と命題の関係
条件 p, q を満たす集合をそれぞれ P, Q とするとき、次が言える。

  • $p\implies q$ が真であること と $P \subset Q$ となることは同じ
  • $p\implies q$ が偽であること と $P \not \subset Q$ となることは同じ

このことは、今考えているランドとシーの例に限らず、数学全般で成り立ちます。これは、「命題の真偽を考えるときは、対応する集合が含まれるかどうかを考えればいい」ということを表しています。

例題2

最後に、もう少し数学っぽい内容を考えて終わりにしましょう。

例題
xを実数とするとき、次の命題の真偽を述べなさい。
(1) $|x|\lt 1$ ならば $x \lt 1$
(2) $x\lt 1$ ならば $|x| \lt 1$

数の範囲なので、ベン図ではなく数直線で考えたほうがわかりやすいでしょう。
basic-proposition-and-set-03
数直線が正しく描ければ、 $|x|\lt 1$ を満たす集合が $x \lt 1$ を満たす集合に含まれ、その逆が成り立たないことが分かります。よって、(1)は真、(2)は偽となります。(2)の反例は、例えば $x=-2$ などです。

おわりに

ここでは、命題の真偽と、条件を満たす集合の包含関係が対応していることを見ました。ここで見てきたことは、証明問題を解く上で基礎的な事柄として使われます。ただ、あまりにも基本的なので、参考書や問題集などではわざわざ説明されないことも多いです。