センター試験 数学II・数学B 2017年度追試 第5問 解説

【選択問題】(第3問~第5問から2問選択)

問題編

問題

(注:正規分布表は省略しています)

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$$0 \lt p \lt 1$ とする。袋の中に白球が $p$、赤球が $1-p$ の割合で、全部で m 個入っているものとする。

 以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて29ページの正規分布表を用いてもよい。

(1) $p=\dfrac{3}{5}$ とする。この袋の中から1個の球を取り出し袋の中へ戻すという試行を4回繰り返すとき、白球の出る回数を表す確率変数を W とする。 W の平均(期待値)は $\dfrac{\myBox{アイ}}{\myBox{ウ}}$ 、 W の分散は $\dfrac{\myBox{エオ}}{\myBox{カキ}}$ である。

 さらに
  $X=$ (白球の出る回数) $-$ (赤球の出る回数)
とするとき
  $X=\myBox{ク}W -\myBox{ケ}$
が成り立つ。このことを利用して、 X の平均は $\dfrac{\myBox{コ}}{\myBox{サ}}$ 、 X の分散は $\dfrac{\myBox{シス}}{\myBox{セソ}}$ であることがわかる。

(2) $m=10$, $p=\dfrac{3}{5}$ とする。この袋の中から同時に4個の球を取り出すとき、白球の個数を表す確率変数を Y とする。このとき
\begin{eqnarray}
P(Y=0) &=& \dfrac{\myBox{タ}}{\myBox{チツテ}}, \\[5pt] P(Y=1) &=& \dfrac{\myBox{ト}}{\myBox{ナニ}} \\[5pt] \end{eqnarray}である。同様に Y のとり得る他の値に対する確率を求めてから、 Y の平均を計算すると $\dfrac{\myBox{ヌネ}}{\myBox{ノ}}$ であることがわかる。

(3) 以下では、 p の値がわからないとする。
 この袋の中から1個の球を取り出し袋の中へ戻すという試行を n 回繰り返す(以下、これを n 回の復元抽出という)。 n 回の復元抽出を行ったとき、白球の出る回数を確率変数 W で表し、 $R=\dfrac{W}{n}$ とおく。 n が十分大きいとき、確率変数 R は近似的に平均 p 、分散 $\dfrac{p(1-p)}{n}$ の正規分布に従う。 W のとる値を w とし、 $r=\dfrac{w}{n}$ とおくと、 R が近似的に従う正規分布の分散 $\dfrac{p(1-p)}{n}$ を $\dfrac{r(1-r)}{n}$ で置き換えることにより、 p に対する信頼度(信頼係数)95%の信頼区間 $A\leqq p \leqq B$ を求めることができる。このとき、 $B-A$ を信頼区間の幅とよぶ。以下、信頼度95%を固定して考え、 n は十分に大きいとする。
 n 回の復元抽出を行って信頼区間を作るとき、信頼区間の幅が最大となる r の値は $r=0.\myBox{ハ}$ が得られたときである。このときの信頼区間の幅を $L_1$ とする。また、 n 回の復元抽出を行って、 $r=0.8$ が得られたときの信頼区間の幅を $L_2$ とする。このとき、 $\dfrac{L_2}{L_1}=\myBox{ヒ}.\myBox{フ}$ である。

【広告】

考え方

(1)は、和や定数倍に関する平均や分散を求める問題ですね。独立なので、分散はただ単に足せばいいですね。

(2)では平均を求めますが、よく考えると(1)と同じになることがわかるでしょう。

(3)は、母比率の推定ですね。教科書にも載っている話ですが、前半でかなり丁寧に説明されています。信頼区間の幅が、何に比例することがわかっていれば、そんなに難しくはないでしょう。