なかけんの数学ノート

センター試験 数学II・数学B 2017年度追試 第4問 解説

【選択問題】(第3問~第5問から2問選択)

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$座標空間において4点 $\mathrm{ A }(2,0,0)$, $\mathrm{ B }(1,1,0)$, $\mathrm{ C }(1,0,1)$, $\mathrm{ D }(x,y,z)$ を考える。

(1) 三つのベクトル $\overrightarrow{\mathrm{ DA }}$, $\overrightarrow{\mathrm{ DB }}$, $\overrightarrow{\mathrm{ DC }}$ について
\begin{eqnarray}
& & \overrightarrow{\mathrm{ DA }} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ DB }} -\overrightarrow{\mathrm{ DB }}\cdot \overrightarrow{\mathrm{ DC }} = \myBox{ア} \quad \cdots ① \\[5pt]
& & \overrightarrow{\mathrm{ DB }} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ DC }} -\overrightarrow{\mathrm{ DC }}\cdot \overrightarrow{\mathrm{ DA }} = \myBox{イ} \quad \cdots ② \\[5pt]
\end{eqnarray}である。 $\myBox{ア}$, $\myBox{イ}$ に当てはまるものを、次の 0 ~ 8 のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを選んでもよい。

 0: $x-y-1$
 1: $y-z-1$
 2: $z-x-1$
 3: $x-y$
 4: $y-z$
 5: $z-x$
 6: $x-y+1$
 7: $y-z+1$
 8: $z-x+1$

(2) $\mathrm{ AB }=\mathrm{ BC }=\mathrm{ CA }=\sqrt{\myBox{ウ}}$ により、三角形 ABC は正三角形である。以下、4点 A, B, C, D が正四面体の四つの頂点になるとする。このときの x, y, z の値を求めよう。ただし、 $x\gt 1$ とする。
 ベクトル $\overrightarrow{\mathrm{ DA }}$, $\overrightarrow{\mathrm{ DB }}$, $\overrightarrow{\mathrm{ DC }}$ の大きさは、いずれも $\sqrt{\myBox{エ}}$ であり、どの二つのベクトルのなす角も $\myBox{オカ}\ ^{\circ}$ である、よって、\[ \overrightarrow{\mathrm{ DA }} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ DB }} = \overrightarrow{\mathrm{ DB }} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ DC }} = \overrightarrow{\mathrm{ DC }} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ DA }} =\myBox{キ} \]となる。このことと①、②および\[ |\overrightarrow{\mathrm{ DA }}| = |\overrightarrow{\mathrm{ DB }}| = |\overrightarrow{\mathrm{ DC }}| =\sqrt{\mybox{エ}} \]により、\[ (x,y,z) = \left(\myBox{ク}, \myBox{ケ}, \myBox{コ}\right) \]となる。

(3) $(x,y,z) = \left(\mybox{ク}, \mybox{ケ}, \mybox{コ}\right)$ のときを考える。線分 AB の中点を P、線分 DA を $1:2$ に内分する点を Q、線分 DC を $t:(1-t)\ (0\lt t \lt 1)$ に内分する点を R とする。三角形 PQR の面積 S が最小になるときの t の値をを求めよう。
\begin{eqnarray}
& & |\overrightarrow{ \mathrm{ PQ } }|^2 = \frac{\myBox{サシ}}{\myBox{スセ}} \\[5pt]
& & |\overrightarrow{ \mathrm{ PR } }|^2 = \myBox{ソ}t^2 -\myBox{タ}t +\frac{\myBox{チ}}{\myBox{ツ}} \\[5pt]
\end{eqnarray}であり、 $\overrightarrow{ \mathrm{ PQ } }$ と $\overrightarrow{ \mathrm{ PR } }$ のなす角を $\theta$ とすると、 $S = \dfrac{1}{2} |\overrightarrow{ \mathrm{ PQ } }| |\overrightarrow{ \mathrm{ PR } }| \sin \theta$ なので
\begin{eqnarray}
4S^2
&=&
|\overrightarrow{ \mathrm{ PQ } }|^2 |\overrightarrow{ \mathrm{ PR } }|^2 \sin^2 \theta \\[5pt]
&=&
|\overrightarrow{ \mathrm{ PQ } }|^2 |\overrightarrow{ \mathrm{ PR } }|^2 -|\overrightarrow{ \mathrm{ PQ } }|^2 |\overrightarrow{ \mathrm{ PR } }|^2 \cos^2 \theta \\[5pt]
&=&
t^2 -\frac{\myBox{テ}}{\myBox{ト}}t +\frac{\myBox{ナ}}{\myBox{ニヌ}} \\[5pt]
\end{eqnarray}である。よって、 S は $t=\dfrac{\myBox{ネ}}{\myBox{ノハ}}$ のとき最小になる。

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考え方

空間ベクトルですが、特に図をかいて考える必要はありません。図形的なひらめきがなくても解くことができます。

(1)は直接代入するよりも、左辺を少し変形してから代入すると計算が少し楽になります。計算量が多いので、工夫できるところは工夫してから計算しましょう。

(2)は、「正四面体になるとき」という、よくある問題です。似た問題を解いたことがある人も多いでしょう。(1)で出てきた内積の式の左辺が0になることを利用して解いていきましょう。

(3)も、ベクトルの問題でよくある、三角形の面積の問題です。途中で、内積の2乗を使います。(2)の結果を使うので、(3)に進む前に計算間違いがないか、チェックしておくと安全です。

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試験名: 大学入試, センター試験, センターIIB
年度: 2017年度
分野: ベクトル
トピック: 空間ベクトル
レベル: ふつう
キーワード: 三角形の面積, 二次関数, 最大・最小, ベクトル, 空間ベクトル, 内積
更新日:2017/06/10