なかけんの数学ノート

センター試験 数学II・数学B 2017年度追試 第3問 解説

【選択問題】(第3問~第5問から2問選択)

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$次の $(\mathrm{I})$, $(\mathrm{II})$ で定められる数列 $\{ a_n \}$ を考える。

 $(\mathrm{I})$ $a_1=1$, $a_2=4$
 $(\mathrm{II})$ $n=1,2,3,\cdots$ に対して\[ (n+1)a_{n+2} -(3n+2)a_{n+1} +2na_n = 4n+2 \ \cdots ① \]  である。

(1) $a_3 = \myBox{アイ}$ である。

(2) $\{ a_n \}$ の一般項、および初項から第 n 項までの和 $S_n$ を求めよう。
 ①の左辺は
\begin{eqnarray}
& & (n+1)a_{n+2} -(3n+2)a_{n+1} +2na_n \\[5pt]
& & = (n+1) \left(a_{n+2} -\myBox{ウ}a_{n+1}\right) -n\left(a_{n+1} -\mybox{ウ}a_{n}\right) \\[5pt]
\end{eqnarray}となる。よって
\begin{eqnarray}
(n+1) \left(a_{n+2} -\mybox{ウ}a_{n+1}\right) -n\left(a_{n+1} -\mybox{ウ}a_{n}\right)
=4n+2
\end{eqnarray}である。したがって、 $b_n = n\left(a_{n+1} -\mybox{ウ}a_{n}\right)$ とおくと、 $\{b_n\}$ の階差数列は初項 $\myBox{エ}$, 公差 $\myBox{オ}$ の等差数列であり、 $\{b_n\}$ の一般項は\[ b_n = \myBox{カ} n^{\myBox{キ}} \]である。ゆえに
\begin{eqnarray}
a_{n+1} -\mybox{ウ}a_{n} = \frac{1}{n} \cdot \mybox{カ} n^{\mybox{キ}} \ \cdots ②
\end{eqnarray}を得る。

 $c_n = a_{n+1}-a_n$ とおくと、②から、\[ c_{n+1}-\mybox{ウ}c_n = \myBox{ク} \]である。\[ c_{n+1} +\myBox{ケ} = \mybox{ウ} \left(c_n +\mybox{ケ}\right) \]により、数列 $\left\{c_n+\mybox{ケ}\right\}$ は初項 $\myBox{コ}$, 公比 $\mybox{ウ}$ の等比数列である。

 したがって、 $\{a_n\}$ の一般項は\[ a_n = \myBox{サ} \cdot \myBox{シ}^{\myBox{ス}} -\myBox{セ}n -\myBox{ソ} \]である。ただし、 $\myBox{ス}$ については、当てはまるものを、次の 0 ~ 4 のうちから一つ選べ。

 0: $n-2$
 1: $n-1$
 2: $n$
 3: $n+1$
 4: $n+2$

 また、 $\{a_n\}$ の初項から第 n 項までの和 $S_n$ は\[ S_n = \myBox{タ} \cdot \myBox{チ}^{\myBox{ツ}} -n^2 -\myBox{テ}n -\myBox{ト} \]である。ただし、 $\myBox{ツ}$ については、当てはまるものを、次の 0 ~ 4 のうちから一つ選べ。

 0: $n-2$
 1: $n-1$
 2: $n$
 3: $n+1$
 4: $n+2$

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考え方

(1)はおまけです。難しいのは(2)です。

序盤から複雑そうな式変形をさせられますが、よく見ると $a_n$ の部分からウが求められます。

$c_n$ が出てきたところで少し意図がわかりづらくなりますが、 $\{a_n\}$ の階差数列を求めようとしてる、ということですね。この階差数列は、特性方程式を解いて、一般項をもとめることができます。

階差数列が分かれば元の数列もわかり、その数列の和も求められます。ただ、中盤の変形の意図をよくくみ取っていかないと、流れを見失ってしまうかもしれません。計算量もあるので、なかなか難しいです。

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試験名: 大学入試, センター試験, センターIIB
年度: 2017年度
分野: 数列
トピック: 数列
レベル: ややむずい
キーワード: 等比数列の和, 等比数列, 等差数列, 階差数列, 和の公式, 数列
更新日:2017/06/07