センター試験 数学II・数学B 2017年度追試 第1問 [2] 解説

【必答問題】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$p, q, x, y は実数とし、関係式\[ p=\log_3 \left\{ 3^x-\left(\frac{1}{3}\right)^x \right\}, \\ q=\log_3 \left\{ 3^y-\left(\frac{1}{3}\right)^y \right\} \]を満たすとする。

(1) 真数の条件により、 $x\gt \myBox{ツ}$, $y\gt \mybox{ツ}$ である。ただし、対数 $\log_a b$ に対し、 a を底といい、 b を真数という。
 また、 $x\lt y$ であるとき
\begin{eqnarray}
3^x & \myBox{テ} & 3^y , \\[5pt] \left(\frac{1}{3}\right)^x & \myBox{ト} & \left(\frac{1}{3}\right)^y , \\[5pt] p & \myBox{ナ} & q \\[5pt] \end{eqnarray}が成り立つ。 $\myBox{テ}$, $\myBox{ト}$, $\myBox{ナ}$ に当てはまるものを、次の 0 から 2 のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

 0: $\lt$
 1: $=$
 2: $\gt$

(2) $x=\log_3 4$ のとき、\[ p=\log_3 \myBox{ニ} -\myBox{ヌ}\log_3 2 +\myBox{ネ} \]である。また、 $p=\log_3 4$ のとき、 $x=\log_3 \left(\myBox{ノ} +\sqrt{\myBox{ハ}}\right)$ である。

(3) 関係式 $y=2x-1$, $q=2p-1$ が成り立つとき、 $x=\dfrac{\log_3 \myBox{ヒ}}{\myBox{フ}}$ である。

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考え方

(1)は x 乗しているものが、1より大きいのか小さいのかに注意しながら考えましょう。

(2)以降は計算問題ですが、ごちゃごちゃしがちです。特に、(3)は文字が4つ出てくるので、計算の順番を工夫しないと、とんでもなく長い式を扱うことになってしまいます。 p, q の関係を x, y の関係に書き直してから解いていく方針がいいでしょう。