なかけんの数学ノート

センター試験 数学II・数学B 2017年度追試 第1問 [1] 解説

【必答問題】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$$0\leqq \alpha \leqq \dfrac{\pi}{2}$, $0\leqq \beta \leqq \dfrac{\pi}{2}$ および関係式\[ 2\cos^2(\beta-\alpha) = 3\sin(\beta-\alpha) \quad \cdots ① \]を満たす $\alpha, \beta$ に対して、 $y=4\sin^2\beta-4\cos^2\alpha$ とおく。

(1) $t=\sin (\beta-\alpha)$ とおくと、①から $t=\dfrac{\myBox{ア}}{\myBox{イ}}$ であることがわかる。 $0\leqq \alpha \leqq \dfrac{\pi}{2}$, $0\leqq \beta \leqq \dfrac{\pi}{2}$ であるから、 $\beta-\alpha=\dfrac{\pi}{\myBox{ウ}}$ である。

(2) (1)により $\beta=\alpha+\dfrac{\pi}{\mybox{ウ}}$ であるから、加法定理を用いて、 y を $\alpha$ で表すと\[ y=\myBox{エ}-\myBox{オ}\cos^2\alpha +\myBox{カ}\sqrt{\myBox{キ}} \sin\alpha\cos\alpha \ \cdots ② \]となる。このことから、 $y=\mybox{エ}$ となるのは、 $\alpha = \dfrac{\pi}{\myBox{ク}}$, $\beta = \dfrac{\pi}{\myBox{ケ}}$ のときである。

(3) 2倍角の公式を用いると、②は\[ y=\sqrt{\myBox{コ}}\sin 2\alpha -\myBox{サ}\cos 2\alpha \]となる。さらに、三角関数の合成を用いると\[ y=\myBox{シ}\sqrt{\myBox{ス}} \left(\sin 2\alpha-\frac{\pi}{\myBox{セ}}\right) \]と変形できる。このことから、 $y=-\sqrt{3}$ となるのは、 $\alpha = \dfrac{\pi}{\myBox{ソタ}}$, $\beta = \dfrac{\pi}{\myBox{チ}}$ のときである。

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考え方

三角関数での公式を使った典型的な問題です。何の定理を使うかを書いてくれていて、親切ですね。

簡単ではありませんが、誘導にのって計算していけば、それほどつまるところなく進んでいけるでしょう。つねに角度の範囲を気にしながら考えていきましょう。

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試験名: 大学入試, センター試験, センターIIB
年度: 2017年度
分野: 三角関数
トピック: 三角関数
レベル: ふつう
キーワード: 三角関数の合成, 加法定理, 倍角の公式, 三角関数, 半角の公式
更新日:2017/06/01