【基本】方程式と等式の性質

🕒 2019/05/18 🔄 2023/05/01

ここでは、方程式を解くために利用できる、等式の性質について見ていきます。

📘 目次

方程式を解く

【基本】方程式とその解では、次のような方程式を考えました。\[ 120x+140=500 \]方程式とは、文字に代入する値によって、成り立ったり成り立たなかったりする等式のことでした。

もちろん、大事なのは、「いつ成り立つか」です。どのような値を入れれば、この等式が成り立つか、を知りたいのが普通です。このような、方程式を成り立たせるような値のことを、方程式の解というのでした。

上のリンク先では、実際に $x$ にいろんな値を入れてみて、解を探しました。しかし、このような見つけ方では、「たまたま見つかった」という感じがしますね。数は無限にあるので、すべての数を1つ1つ確かめていくことはできません。そのため、解を特定する別の方法を考えてみましょう。

先ほどの方程式\[ 120x+140=500 \]について考えてみます。左辺の $x$ がどんな値かを知りたいのですが、左辺の $140$ が邪魔ですね。 $120x$ に $140$ を足したら $500$ になるということは、 $140$ を足す前は $500-140=360$ となるはずです。つまり、\[ 120x=360 \]が成り立つことがわかります。今度は $120$ が邪魔ですね。 $x$ に $120$ を掛けたら $360$ になるのだから、掛ける前は $360\div 120=3$ となるはずです。つまり、\[ x=3 \]であることがわかります。このようにして、上のリンク先と同じように、 $x=3$ が解であることがわかりました。方程式を変形していく方法であれば、確実に解を見つけることができますね。

方程式の解を見つけることを、「方程式を解く(とく)」といいます。

等式の性質

先ほどは、方程式を解くために、方程式を変形していきました。このような変形の背景には、等式の性質を用いています。以下では、5つ紹介します。釣り合っている天秤（てんびん）やシーソーなどを想像しながら考えると、どれも当たり前に感じるものでしょう。

1つ目の性質は、「等式の両辺に同じ数や式を加えても、等式は成り立つ」という内容です。これは、「釣り合っている天秤やシーソーの両側に、同じ重さのものを乗せても、釣り合ったまま」ということです。それはそうだよな、という感じがしますね。式で書くと、次のようになります。

　$A=B$ ならば、 $A+C=B+C$ が成り立つ

2つ目は、同じ数や式を引いても等式が成り立つ、という内容です。釣り合っている天秤やシーソーから同じ重さのものを取り除いても、釣り合ったままですよね。式で書くと、次のようになります。

　$A=B$ ならば、 $A-C=B-C$ が成り立つ

3つ目は掛け算です。同じ数を掛けても、等式は成り立ったまま、という内容です。天秤の両側のものを、2倍、3倍、4倍としても、釣り合ったままであることがわかるでしょう。式では次のようになります。

　$A=B$ ならば、 $AC=BC$ が成り立つ

4つ目は割り算です。 $0$ でない同じ数で割っても、等式は成り立つ、という内容です。天秤の両側のものを、半分にしたり、同じ分割をしても、釣り合ったままです。式では次のようになります。

　$A=B$ ならば、 $C\ne 0$ に対して $\dfrac{A}{C}=\dfrac{B}{C}$ が成り立つ

最後の、5つ目は、両辺を入れ替えても等式が成り立つ、という内容です。天秤やシーソーでいうと、もともと釣り合っていれば、両側のものを入れ替えても釣り合う、という内容ですが、これも当たり前に感じるでしょう。

　$A=B$ ならば、 $B=A$ が成り立つ

こうして、5つの性質を紹介しましたが、どれも、成り立って当然に感じるものばかりだと思います。なぜわざわざ書き出したかというと、方程式を解くのに使うからです。

冒頭の\[ 120x+140=500 \]についてもう一度考えてみます。上で紹介した、2つ目の性質を使って、両辺から $140$ を引いてみましょう。すると\[ 120x+140-140=500-140 \]となります。両辺をそれぞれ計算すれば\[ 120x=360 \]が得られます。さらに、上で紹介した4つ目の性質を使って、両辺を $120$ で割れば、\[ 120x\div120=360\div120 \]となり、計算すると\[ x=3 \]が得られます。

上で紹介した5つの性質を組み合わせて考えていくことで、いろいろな方程式が解けるようになっていきます。