東京大学 理系 2018年度 第2問 解説

解答編

問題

 数列 $a_1,a_2,\cdots$ を\[ a_n=\frac{ {}_{2n+1} \mathrm{ C }_n}{n!}\quad(n=1,2,\cdots) \]で定める。

(1) $n\geqq 2$ とする。 $\dfrac{a_n}{a_{n-1}}$ を既約分数 $\dfrac{q_n}{p_n}$ として表したときの分母 $p_n\geqq 1$ と分子 $q_n$ を求めよ。

(2) $a_n$ が整数となる $n\geqq 1$ をすべて求めよ。

解答

(1)
\begin{eqnarray}
{}_{2n+1} \mathrm{ C }_n=\frac{(2n+1)!}{n!(n+1)!}
\end{eqnarray}なので
\begin{eqnarray}
\frac{a_n}{a_{n-1}}
&=&
\frac{(2n+1)!}{n!n!(n+1)!} \times \frac{(n-1)!(n-1)!n!}{(2n-1)!} \\[5pt] &=&
\frac{2(2n+1)}{n(n+1)} \\[5pt] \end{eqnarray}となる。

ここで、ユークリッドの互除法より、 $2n+1$ と $n$ の最大公約数は $1$ である。また、 $2n+1$ と $n+1$ の最大公約数は、 $n$ と $n+1$ の最大公約数と等しく、これも $1$ である。よって、 $2n+1$ と $n(n+1)$ は互いに素である。また、 $n(n+1)$ は連続する2つの整数の積なので偶数である。よって
\begin{eqnarray}
\frac{a_n}{a_{n-1}}
&=&
\frac{2n+1}{\frac{1}{2}n(n+1)} \\[5pt] \end{eqnarray}が成り立ち、右辺は既約分数である。

以上から、 $p_n=\dfrac{n(n+1)}{2}$, $q_n=2n+1$ となる。

(2)
$a_1=3$ であり、\[ a_2=\frac{{}_{5}\mathrm{ C }_2}{2!}=5 \]である。また、
\begin{eqnarray}
a_3=\frac{{}_{7}\mathrm{ C }_3}{3!}=\frac{35}{6}
\end{eqnarray}となる。

$n\gt 3$ のとき、(1)より
\begin{eqnarray}
a_n
&=&
\frac{q_n}{p_n}\cdot\frac{q_{n-1}}{p_{n-1}}\cdot\cdots\frac{q_4}{p_4}\cdot a_3 \\[5pt] &=&
\frac{35q_n q_{n-1}\cdots q_4}{6p_n p_{n-1}\cdots p_4}
\end{eqnarray}となる。ここで、各 $p_k,q_k$ は整数であり、 $q_k=2n+1$ なので、分子は奇数である。よって、 $6$ で割り切れることはないため、整数とはならない。

以上から、 $n=1,2$ となる。

(終)