東京大学理系 2016年度第6問解説

🕒 2016/02/29 🔄 2023/05/01

問題編

問題

　座標空間内を、長さ2の線分ABが次の2条件(a)、(b)をみたしながら動く。
　(a) 点Aは平面$z=0$上にある
　(b) 点$\mathrm{ C }(0,0,1)$が線分AB上にある。
このとき、線分ABが通過することのできる範囲をKとする。Kと不等式$z\geqq 1$の表す範囲との共通部分の体積を求めよ。

考え方

共通部分を$z=k$で切ると、その断面図が円になることは対称性からすぐにわかります。なので、この円の半径さえわかれば、あとは積分するだけです。円の半径も、条件を変形していけば出てきます。

解答編

問題

　座標空間内を、長さ2の線分ABが次の2条件(a)、(b)をみたしながら動く。
　(a) 点Aは平面$z=0$上にある
　(b) 点$\mathrm{ C }(0,0,1)$が線分AB上にある。
このとき、線分ABが通過することのできる範囲をKとする。Kと不等式$z\geqq 1$の表す範囲との共通部分の体積を求めよ。

解答

共通部分に含まれる点Pの座標を$(x,y,z)$とする。$z\geqq 1$である。

直線PC上の点は、実数tを用いて\[(0,0,1)+t(x,y,z-1)=(tx,ty,1+t(z-1))\]と書ける。点Aのz座標は0なので、$z\ne 1$のときは、$t=\frac{1}{1-z}$となる。よって、点Aの座標は\[\left( \frac{x}{1-z},\frac{y}{1-z},0 \right)\]となる。

線分ABの長さは2なので、線分APの長さは2以下なので、
\begin{eqnarray} \left( \frac{x}{1-z} -x \right)^2 + \left( \frac{y}{1-z} -y \right)^2 +z^2 \leqq 4 \\[5pt] \left( \frac{xz}{1-z} \right)^2 + \left( \frac{yz}{1-z} \right)^2 \leqq 4-z^2 \\[5pt] x^2+y^2 \leqq \frac{(4-z^2)(1-z)^2}{z^2} \end{eqnarray}となる（$z\geqq 1$なので、$z\ne 0$である）。なお、これは、$z=1$のときも成り立つ。また、$z\geqq 1$の範囲でこの式を満たす点Pが存在するのは、$z\leqq 2$のときのみ。

このことから、考えている共通部分を平面$z=k$で切断すると、その断面は円であり、断面積は$\displaystyle \frac{\pi (4-k^2)(1-k)^2}{k^2}$であることがわかる。よって、求める体積は、
\begin{eqnarray} & & \int_1^2 \frac{\pi (4-z^2)(1-z)^2}{z^2} dz\\[5pt] &=& \pi \int_1^2 \frac{-z^4+2z^3+3z^2-8z+4}{z^2} dz\\[5pt] &=& \pi \int_1^2 \left( -z^2 +2z +3 -\frac{8}{z} +\frac{4}{z^2}\right) dz\\[5pt] &=& \pi \left[ -\frac{z^3}{3} + z^2 + 3z -8\log z -\frac{4}{z} \right]_1^2 \\[5pt] &=& \pi \left(-\frac{7}{3} + 3 + 3 -8\log 2 +2 \right) \\[5pt] &=& \pi \left(\frac{17}{3} -8\log 2 \right) \end{eqnarray}となる。

（答）$\pi \left(\dfrac{17}{3} -8\log 2 \right)$