東京大学 理系 2013年度 第4問 解説
問題編
問題
$\triangle \mathrm{ ABC }$ において $\angle \mathrm{ BAC }=90^{\circ}$, $|\overrightarrow{ \mathrm{ AB } }|=1$, $|\overrightarrow{ \mathrm{ AC } }|=\sqrt{3}$ とする。 $\triangle \mathrm{ ABC }$ の内部の点 P が\[ \frac{\overrightarrow{ \mathrm{ PA } } }{|\overrightarrow{ \mathrm{ PA } }|} +\frac{\overrightarrow{ \mathrm{ PB } } }{|\overrightarrow{ \mathrm{ PB } }|}+ \frac{\overrightarrow{ \mathrm{ PC } } }{|\overrightarrow{ \mathrm{ PC } }|}=\vec{0} \]を満たすとする。
(1) $\angle \mathrm{ APB }$, $\angle \mathrm{ APC }$ を求めよ。
(2) $|\overrightarrow{ \mathrm{ PA } }|$, $|\overrightarrow{ \mathrm{ PB } }|$, $|\overrightarrow{ \mathrm{ PC } }|$ を求めよ。
考え方
(1)は、条件式をどう使うかひらめきが必要です。角度がわかるための変形をする、と考えると少しはひらめきやすいかもしれません。
(2)は、角度がわかってしまえば、あとはベクトルを使わなくても求められます。わからないものが3つありますが、成り立つ等式もたくさんあるので、計算しやすいものを選んで考えていきましょう。
解答編
問題
$\triangle \mathrm{ ABC }$ において $\angle \mathrm{ BAC }=90^{\circ}$, $|\overrightarrow{ \mathrm{ AB } }|=1$, $|\overrightarrow{ \mathrm{ AC } }|=\sqrt{3}$ とする。 $\triangle \mathrm{ ABC }$ の内部の点 P が\[ \frac{\overrightarrow{ \mathrm{ PA } } }{|\overrightarrow{ \mathrm{ PA } }|} +\frac{\overrightarrow{ \mathrm{ PB } } }{|\overrightarrow{ \mathrm{ PB } }|}+ \frac{\overrightarrow{ \mathrm{ PC } } }{|\overrightarrow{ \mathrm{ PC } }|}=\vec{0} \]を満たすとする。
(1) $\angle \mathrm{ APB }$, $\angle \mathrm{ APC }$ を求めよ。
解答
点 P は\[ \frac{\overrightarrow{ \mathrm{ PA } } }{|\overrightarrow{ \mathrm{ PA } }|} +\frac{\overrightarrow{ \mathrm{ PB } } }{|\overrightarrow{ \mathrm{ PB } }|}=
-\frac{\overrightarrow{ \mathrm{ PC } } }{|\overrightarrow{ \mathrm{ PC } }|} \]を満たす。右辺の絶対値は $1$ なので、左辺の絶対値も $1$ である。左辺の絶対値の2乗を計算すると
\begin{eqnarray}
& &
\frac{|\overrightarrow{ \mathrm{ PA } }|^2}{|\overrightarrow{ \mathrm{ PA } }|^2}
+\frac{2\overrightarrow{ \mathrm{ PA } }\cdot\overrightarrow{ \mathrm{ PB } } }{|\overrightarrow{ \mathrm{ PA } }||\overrightarrow{ \mathrm{ PB } }|}
+\frac{|\overrightarrow{ \mathrm{ PB } }|^2}{|\overrightarrow{ \mathrm{ PB } }|^2} \\[5pt]
&=&
1+2\cos\angle \mathrm{ APB }+1
\end{eqnarray}であり、これが $1$ なので、 $\cos\angle \mathrm{ APB }=-\dfrac{1}{2}$ となる。これより、\[ \angle \mathrm{ APB }=120^{\circ} \]である。同様にして\[ \angle \mathrm{ APC }=120^{\circ} \]と求められる。
（(1)終）
解答編 つづき
問題
(2) $|\overrightarrow{ \mathrm{ PA } }|$, $|\overrightarrow{ \mathrm{ PB } }|$, $|\overrightarrow{ \mathrm{ PC } }|$ を求めよ。
解答
(2)
(1)より、
\begin{eqnarray}
\angle \mathrm{ BPC }
&=&
360^{\circ}-\angle \mathrm{ APB }-\angle \mathrm{ APC } \\[5pt]
&=&
120^{\circ}
\end{eqnarray}である。
$a=|\overrightarrow{ \mathrm{ PA } }|$, $b=|\overrightarrow{ \mathrm{ PB } }|$, $c=|\overrightarrow{ \mathrm{ PC } }|$ とおくと、余弦定理から次の3つの式が成り立つ。
\begin{eqnarray}
1^2 &=& a^2+b^2-2ab \cos\angle \mathrm{ APB } \\[5pt]
2^2 &=& b^2+c^2-2bc \cos\angle \mathrm{ BPC } \\[5pt]
(\sqrt{3})^2 &=& c^2+a^2-2ca \cos\angle \mathrm{ CPA } \\[5pt]
\end{eqnarray}角度はすべて $120^{\circ}$ なので、これらは次のように変形できる。
\begin{eqnarray}
a^2+b^2+ab &=& 1 \\[5pt]
b^2+c^2+bc &=& 4 \\[5pt]
c^2+a^2+ca &=& 3 \\[5pt]
\end{eqnarray}2つ目から1つ目を辺々引くと
\begin{eqnarray}
c^2-a^2 +b(c-a) &=& 3 \\[5pt]
(c-a)(a+b+c) &=& 3 \\[5pt]
\end{eqnarray}が得られ、2つ目から3つ目を辺々引くと
\begin{eqnarray}
(b-a)(a+b+c) &=& 1 \\[5pt]
\end{eqnarray}が得られる。これより\[ (c-a)(a+b+c)=3(b-a)(a+b+c) \]となるが、 $a+b+c\gt 0$ なので
\begin{eqnarray}
c-a &=& 3(b-a) \\[5pt]
c &=& 3b-2a \\[5pt]
\end{eqnarray}が成り立つ。これを先ほどの式に代入して
\begin{eqnarray}
(c-a)(a+b+c) &=& 3 \\[5pt]
(3b-2a-a)(a+b+3b-2a) &=& 3 \\[5pt]
3(b-a)(4b-a) &=& 3 \\[5pt]
a^2-5ab+4b^2 &=& 1 \\[5pt]
\end{eqnarray}が成り立つ。余弦定理から成り立つ式 $a^2+b^2+ab=1$ をこれから辺々引けば $b\gt 0$ より
\begin{eqnarray}
-6ab+3b^2 &=& 0 \\[5pt]
b &=& 2a \\[5pt]
\end{eqnarray}が成り立つ。これを $a^2+b^2+ab=1$ に代入すれば
\begin{eqnarray}
a^2+4a^2+2a^2 &=& 1 \\[5pt]
a^2 &=& \frac{1}{7} \\[5pt]
\end{eqnarray}となる。 $a\gt 0$ より $a=\dfrac{\sqrt{7} }{7}$ であり、 $b=2a$ より $b=\dfrac{2\sqrt{7} }{7}$ である。また、 $c=3b-2a$ より $c=\dfrac{4\sqrt{7} }{7}$ となる。
よって、
\begin{eqnarray}
|\overrightarrow{ \mathrm{ PA } }| &=& \frac{\sqrt{7} }{7} \\[5pt]
|\overrightarrow{ \mathrm{ PB } }| &=& \frac{2\sqrt{7} }{7} \\[5pt]
|\overrightarrow{ \mathrm{ PC } }| &=& \frac{4\sqrt{7} }{7} \\[5pt]
\end{eqnarray}となる。
（(2)終）
