京都大学 文系 2021年度 第5問 解説

問題編

問題

　$p$ が素数ならば $p^4+14$ は素数でないことを示せ。

考え方

素数でない、ということは、何かで割り切れてしまう、ということです。「〇乗したときの余り」に関することで、使えるものを使いましょう。

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解答編

問題

　$p$ が素数ならば $p^4+14$ は素数でないことを示せ。

解答例

素数 $p$ を $3$ で割ったときの商を $q$ 、余りを $r$ とする。

$p=3$ のとき、 $p^4+14=95$ なので、素数ではない。

$p\ne 3$ のとき、 $r$ は $1$ か $2$ であり、 $p^2=(3q+r)^2=3(3q^2+2qr)+r^2$ なので、 $p^2$ を $3$ で割ったときの余りは $1$ である。よって、 $p^4$ を $3$ で割った余りも $1$ なので、 $p^4+14$ は $3$ で割り切れる。また、 $3$ よりも大きいため、 $p^4+14$ は素数ではない。

以上から、 $p$ が素数ならば、 $p^4+14$ は素数ではない。（終）

解説

3の倍数でない整数を2乗すると、3で割ったときの余りが1になります。これを利用して解きます。

なお、5の倍数でない整数を2乗すると、5で割ったときの余りは 1 か 4 となります。なので、4乗すると、5で割ったときの余りは 1 となります。このことから、 $p$ が5の倍数でないときは、 $p^4+14$ が5の倍数となり、素数でないことが示せます。この方法を使ってもいいです（これが思いつくなら、3の倍数に着目する方法が思いついているはずですが）。

なお、このような考え方は、過去にも京都大学 理系 2006年度 第4問 解説などで出題されています。