京都大学 文系 2015年度 第5問 解説

解答編

問題

 $a,b,c,d,e$ を正の有理数として整式
\begin{eqnarray}
f(x) &=& ax^2+bx+c \\
g(x) &=& dx+e
\end{eqnarray}を考える。すべての正の整数 $n$ に対して $\dfrac{f(n)}{g(n)}$ は整数であるとする。このとき、$f(x)$ は $g(x)$ で割り切れることを示せ。

解答

$f(x)=(px+q) g(x)+r$と書ける。 $f$ と $g$ の各係数が有理数なので、 $p,q,r$ も有理数となる。 $n$ を正の整数とすると、
\begin{eqnarray}
\frac{f(n)}{g(n)}
&=& pn+q + \frac{r}{dn+e}
\end{eqnarray}となる。条件より、これは整数である。

$p,q$ は有理数なので、それぞれ $\dfrac{p_2}{p_1}$, $\dfrac{q_2}{q_1}$ とかける。ここで、 $p_1$, $p_2$, $q_1$, $q_2$ は整数であり、$p_1$ と $q_1$ は 0 ではないとする。

上の式の両辺に $p_1q_1$ をかけると、
\begin{eqnarray}
\frac{f(n)p_1q_1}{g(n)} -p_2q_1n -p_1q_2
&=& \frac{rp_1q_1}{dn+e}
\end{eqnarray}となる。このとき、左辺は整数だから、右辺も整数である。

$n\to\infty$ としたとき、右辺は 0 に収束する。よって、$\left| \dfrac{rp_1q_1}{dN+e} \right | \lt 1$ となる整数 N が存在する。しかし、この不等式の左辺は整数なので、0 であることがわかる。$p_1$ も $q_1$ も 0 ではないので、$r=0$ 。よって、 $f(x)$ は $g(x)$ で割り切れる。

(解答終)

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解説

$\dfrac{rp_1q_1}{dn+e}$ はいくらでも 0 に近づける整数だから 0 しかありえない、というのがこの解答のポイントになっています。

なお、 $r=0$ なので、 $n$ に $p$ の分母を入れれば $q$ が整数であることがわかります。さらにこのことから $p$ も整数であることがわかります。

ちなみに、理系第5問では、係数が有理数ではなく実数の場合が出題されています。さらに解きにくくなっています。