センター試験 数学II・数学B 2020年度追試 第2問 解説

【必答問題】

問題編

問題

　$a,b,c$ を実数とし、関数 $f(x)=x^3-1$, $g(x)=x^3+ax^2+bx+c$ を考える。座標平面上の曲線 $y=f(x)$ を $C_1$ とし、曲線 $y=g(x)$ を $C_2$ とする。 $C_2$ は点 $\mathrm{A}(-1,-2)$ を通り、 $C_2$ の $\mathrm{A}$ における接線は $C_1$ の $\mathrm{A}$ における接線と一致するものとする。

(1) 曲線 $C_1$ の点 $\mathrm{A}$ における接線を $\ell$ とする。 $f'(-1)=\myBox{ア}$ により、 $\ell$ の方程式は $y=\myBox{イ}x+\myBox{ウ}$ である。また、原点 $\mathrm{O}$ と直線 $\ell$ の距離は $\dfrac{\sqrt{\myBox{エオ} }}{\mybox{エオ} }$ である。

(2) 曲線 $C_2$ の点 $\mathrm{A}$ における接線は(1)の直線 $\ell$ と一致しているので、 $g'(-1)=\myBox{カ}$ である。したがって、 $b,c$ を $a$ を用いて表すと、 $b=\myBox{キ}a$, $c=\myBox{ク}-\myBox{ケ}$ となる。

(3) $a=-2$ のとき、関数 $g(x)$ は $x=\dfrac{\myBox{コサ} }{\myBox{シ} }$ で極大値 $\dfrac{\myBox{スセソ} }{\myBox{タチ} }$ をとり、 $x=\myBox{ツ}$ で極小値 $\myBox{テトナ}$ をとる。

(4) $a\lt 0$ とする。 $-2\leqq x\leqq -1$ において、曲線 $C_1$ と $C_2$ および直線 $x=-2$ で囲まれた図形の面積を $S_1$ とする。また、 $-1\leqq x\leqq 1$ において、曲線 $C_1$ と $C_2$ および直線 $x=1$ で囲まれた図形の面積を $S_2$ とする。このとき、 $S=S_1+S_2$ とおくと、 $S=\myBox{ニ}$ と表される。 $\myBox{ニ}$ に当てはまるものを、次の 0 ～ 3 のうちから一つ選べ。

　0: $\int_{-2}^{-1} \{g(x)-f(x)\}dx+\int_{-1}^{1} \{f(x)-g(x)\}dx$

　1: $\int_{-2}^{-1} \{f(x)-g(x)\}dx+\int_{-1}^{1} \{g(x)-f(x)\}dx$

　2: $\int_{-2}^{1} \{g(x)-f(x)\}dx$

　3: $\int_{-2}^{1} \{f(x)-g(x)\}dx$

　これを計算することにより、 $S=\myBox{ヌネ}a$ となる。

考え方

共通な接線を利用する問題は微分の問題としてはよく出る内容ですが、丁寧な誘導がついています。前半は誘導に従って求めていきましょう。

(4)は2つの曲線の位置関係がどうなっているかを考えます。 $a$ の具体的な値はわかりませんが、位置関係は確定するので、積分の値が求められます。

【必答問題】

解答編

問題

　$a,b,c$ を実数とし、関数 $f(x)=x^3-1$, $g(x)=x^3+ax^2+bx+c$ を考える。座標平面上の曲線 $y=f(x)$ を $C_1$ とし、曲線 $y=g(x)$ を $C_2$ とする。 $C_2$ は点 $\mathrm{A}(-1,-2)$ を通り、 $C_2$ の $\mathrm{A}$ における接線は $C_1$ の $\mathrm{A}$ における接線と一致するものとする。

(1) 曲線 $C_1$ の点 $\mathrm{A}$ における接線を $\ell$ とする。 $f'(-1)=\myBox{ア}$ により、 $\ell$ の方程式は $y=\myBox{イ}x+\myBox{ウ}$ である。また、原点 $\mathrm{O}$ と直線 $\ell$ の距離は $\dfrac{\sqrt{\myBox{エオ} }}{\mybox{エオ} }$ である。

解説

$f'(x)=3x^2$ なので、 $f'(-1)=3$ です。 $\ell$ は点 $\mathrm{A}$ を通るので、この方程式は
\begin{eqnarray} y-(-2) &=& 3\{x-(-1)\} \\[5pt] y &=& 3x+3-2 \\[5pt] &=& 3x+1 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

直線 $\ell$ の方程式は $3x-y+1=0$ とも書けるので、原点 $\mathrm{O}$ と直線 $\ell$ との距離は
\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{3^2+(-1)^2} }=\frac{\sqrt{10} }{10} \end{eqnarray}となります。

解答

ア：3
イウ：31
エオ：10

解答編 つづき

問題

(2) 曲線 $C_2$ の点 $\mathrm{A}$ における接線は(1)の直線 $\ell$ と一致しているので、 $g'(-1)=\myBox{カ}$ である。したがって、 $b,c$ を $a$ を用いて表すと、 $b=\myBox{キ}a$, $c=\myBox{ク}-\myBox{ケ}$ となる。

解説

接線が一致しているということは傾きも一致しているので、 $g'(-1)=f'(-1)=3$ です。

$g'(x)=3x^2+2ax+b$ なので、 $g'(-1)=3$ とすると
\begin{eqnarray} 3(-1)^2+2a(-1)+b &=& 3 \\[5pt] b &=& 2a \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

また、 $y=g(x)$ は点 $\mathrm{A}$ を通るので
\begin{eqnarray} g(-1) &=& -2 \\[5pt] -1+a-b+c &=& -2 \\[5pt] -1+a-2a+c &=& -2 \\[5pt] c &=& a-1 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

解答

カ：3
キ：2
クケ：a1

解答編 つづき

問題

(3) $a=-2$ のとき、関数 $g(x)$ は $x=\dfrac{\myBox{コサ} }{\myBox{シ} }$ で極大値 $\dfrac{\myBox{スセソ} }{\myBox{タチ} }$ をとり、 $x=\myBox{ツ}$ で極小値 $\myBox{テトナ}$ をとる。

解説

$a=-2$ のとき、 $b=2a=-4$, $c=a-1=-3$ なので、\[ g(x)=x^3-2x^2-4x-3 \]となります。 $g'(x)=3x^2-4x-4$ なので、これを $0$ とすると
\begin{eqnarray} 3x^2-4x-4 &=& 0 \\[5pt] (3x+2)(x-2) &=& 0 \\[5pt] x &=& 2,-\frac{2}{3} \end{eqnarray}となります。よって、増減表は、次のようになります。 \begin{array}{c|ccccc} x & \cdots & -\frac{2}{3} & \cdots & 2 & \cdots \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \nearrow & & \searrow & & \nearrow \end{array}また、 \begin{eqnarray} g \left(-\dfrac{2}{3}\right) &=& \left(-\dfrac{2}{3}\right)^3-2\left(-\dfrac{2}{3}\right)^2-4\left(-\dfrac{2}{3}\right)-3 \\[5pt] &=& -\frac{8}{27}-\dfrac{8}{9}+\dfrac{8}{3}-3 \\[5pt] &=& \frac{-8-24+72-81}{27} \\[5pt] &=& -\frac{41}{27} \\[5pt] \end{eqnarray}であり、 \begin{eqnarray} g(2) &=& 2^3-2\cdot 2^2-4\cdot 2-3 \\[5pt] &=& 8-8-8-3 \\[5pt] &=& -11 \end{eqnarray}だから、 $x=-\dfrac{2}{3}$ のときに極大値 $-\dfrac{41}{27}$ をとり、 $x=2$ のときに極小値 $-11$ をとることがわかります。

解答

コサシ：-23
スセソタチ：-4127
ツ：2
テトナ：-11

解答編 つづき

問題

(4) $a\lt 0$ とする。 $-2\leqq x\leqq -1$ において、曲線 $C_1$ と $C_2$ および直線 $x=-2$ で囲まれた図形の面積を $S_1$ とする。また、 $-1\leqq x\leqq 1$ において、曲線 $C_1$ と $C_2$ および直線 $x=1$ で囲まれた図形の面積を $S_2$ とする。このとき、 $S=S_1+S_2$ とおくと、 $S=\myBox{ニ}$ と表される。 $\myBox{ニ}$ に当てはまるものを、次の 0 ～ 3 のうちから一つ選べ。

　0: $\int_{-2}^{-1} \{g(x)-f(x)\}dx+\int_{-1}^{1} \{f(x)-g(x)\}dx$

　1: $\int_{-2}^{-1} \{f(x)-g(x)\}dx+\int_{-1}^{1} \{g(x)-f(x)\}dx$

　2: $\int_{-2}^{1} \{g(x)-f(x)\}dx$

　3: $\int_{-2}^{1} \{f(x)-g(x)\}dx$

　これを計算することにより、 $S=\myBox{ヌネ}a$ となる。

解説

面積を求めるためには、曲線 $C_1$, $C_2$ のどちらが上にあるかをまず調べないといけません。ここで、
\begin{eqnarray} f(x)-g(x) = -ax^2-bx-c-1 \end{eqnarray}です。 $a\lt 0$ であり、 $f(x)-g(x)=0$ の解が1つしかないこと（ $C_1$ と $C_2$ が接するため）から、 $f(x)\geqq g(x)$ であることがわかります。なので、 \begin{eqnarray} S &=& S_1+S_2 \\[5pt] &=& \int_{-2}^{-1} \{f(x)-g(x)\}dx +\int_{-1}^{1} \{f(x)-g(x)\}dx \\[5pt] &=& \int_{-2}^{1} \{f(x)-g(x)\}dx \\[5pt] \end{eqnarray}となります。これを計算すると \begin{eqnarray} S &=& \int_{-2}^{1} \{f(x)-g(x)\}dx \\[5pt] &=& \int_{-2}^{1} \left(-ax^2-bx-c-1\right)dx \\[5pt] &=& \int_{-2}^{1} \left\{-ax^2-2ax-(a-1)-1\right\}dx \\[5pt] &=& \int_{-2}^{1} \left(-ax^2-2ax-a\right)dx \\[5pt] &=& \left[-\frac{ax^3}{3}-ax^2-ax\right]_{-2}^{1} \\[5pt] &=& \left\{-\frac{a\cdot 1^3}{3}-a\cdot 1^2-a\cdot 1\right\} \\ & & -\left\{-\frac{a(-2)^3}{3}-a(-2)^2-a(-2)\right\} \\[5pt] &=& \left(-\frac{a}{3}-a-a\right) -\left(\frac{8a}{3}-4a+2a\right) \\[5pt] &=& -\frac{7a}{3} -\frac{2a}{3} \\[5pt] &=& -3a \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

解答

ニ：3
ヌネ：-3