センター試験 数学II・数学B 2018年度 第2問 [2] 解説

【必答問題】

問題編

問題

　関数 $f(x)$ は $x\geqq 1$ の範囲でつねに $f(x)\leqq 0$ を満たするとする。 $t\gt 1$ のとき、曲線 $y=f(x)$ と x 軸および2直線 $x=1$, $x=t$ で囲まれた図形の面積を W とする。 t が $t\gt 1$ の範囲を動くとき、 W は、底辺の長さが $2t^2-2$ 、他の2辺の長さがそれぞれ $t^2+1$ の二等辺三角形の面積とつねに等しいとする。このとき、 $x\gt 1$ における $f(x)$ を求めよう。

　$F(x)$ を $f(x)$ の不定積分とする。一般に、 $F'(x)=\myBox{ツ}$, $W=\myBox{テ}$ が成り立つ。 $\myBox{ツ}$, $\myBox{テ}$ に当てはまるものを、次の 0 ～ 8 のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを選んでもよい。

　0: $-F(t)$
　1: $F(t)$
　2: $F(t)-F(1)$

　3: $F(t)+F(1)$
　4: $-F(t)+F(1)$
　5: $-F(t)-F(1)$

　6: $-f(x)$
　7: $f(x)$
　8: $f(x)-f(1)$

　したがって、 $t\gt 1$ において\[ f(t)=\myBox{トナ}t^{\myBox{ニ} }+\myBox{ヌ} \]である。よって、 $x\gt 1$ における $f(x)$ がわかる。

考え方

前半は、不定積分の定義、積分と面積の関係を問う問題で、基本事項がわかっているかどうかを確認するためのものです。

後半は、W を具体的に求めて、ツ、テの式をどう使うかを考えれば、それほど難しくはないでしょう。計算もほとんどありません。

【必答問題】

解答編

問題

　関数 $f(x)$ は $x\geqq 1$ の範囲でつねに $f(x)\leqq 0$ を満たするとする。 $t\gt 1$ のとき、曲線 $y=f(x)$ と x 軸および2直線 $x=1$, $x=t$ で囲まれた図形の面積を W とする。 t が $t\gt 1$ の範囲を動くとき、 W は、底辺の長さが $2t^2-2$ 、他の2辺の長さがそれぞれ $t^2+1$ の二等辺三角形の面積とつねに等しいとする。このとき、 $x\gt 1$ における $f(x)$ を求めよう。

　$F(x)$ を $f(x)$ の不定積分とする。一般に、 $F'(x)=\myBox{ツ}$, $W=\myBox{テ}$ が成り立つ。 $\myBox{ツ}$, $\myBox{テ}$ に当てはまるものを、次の 0 ～ 8 のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを選んでもよい。

　0: $-F(t)$
　1: $F(t)$
　2: $F(t)-F(1)$

　3: $F(t)+F(1)$
　4: $-F(t)+F(1)$
　5: $-F(t)-F(1)$

　6: $-f(x)$
　7: $f(x)$
　8: $f(x)-f(1)$

解説

$f(x)$ の不定積分とは、微分して $f(x)$ になる関数のことなので、 $F'(x)=f(x)$ となります。

また、 W は、 $y=f(x)$, x 軸, $x=1$, $x=t$ で囲まれた部分の面積であり、 $f(x)$ は $x\geqq 1$ の範囲でつねに x 軸上かその下にあることから、
\begin{eqnarray} W &=& \int_1^t (-f(x)) dx \\[5pt] &=& -\int_1^t f(x) dx \\[5pt] &=& -\left(F(t)-F(1)\right) \\[5pt] &=& -F(t)+F(1) \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

解答

ツテ：74

解答編 つづき

問題

　したがって、 $t\gt 1$ において\[ f(t)=\myBox{トナ}t^{\myBox{ニ} }+\myBox{ヌ} \]である。よって、 $x\gt 1$ における $f(x)$ がわかる。

解説

まずは、 W を具体的に計算してみましょう。「 W は、底辺の長さが $2t^2-2$ 、他の2辺の長さがそれぞれ $t^2+1$ の二等辺三角形の面積とつねに等しい」ということなので、この面積を求めましょう。

三平方の定理から、高さの2乗は
\begin{eqnarray} (t^2+1)^2-(t^2-1)^2=4t^2 \end{eqnarray}なので、高さは $2t$ となります。よって、 \begin{eqnarray} W&=&\frac{1}{2} \times (2t^2-2)\times 2t=2t^3-2t \end{eqnarray}となります。

ここで、 $W=-F(t)+F(1)$ と $F'(t)=f(t)$ より、 $f(t)=-W'$ であることがわかります。よって
\begin{eqnarray} f(t)=-(6t^2-2)=-6t^2+2 \end{eqnarray}と求められます。

解答