センター試験 数学I・数学A 2016年度追試 第1問 [2] 解説
問題編
問題
$\sqrt{21}$ の整数部分は $\myBox{キ}$ である。
$\sqrt{21}$, $\sqrt{23}$, $\sqrt{31}$ の小数部分をそれぞれ a, b, c とするとき\[ a-c=\myBox{ク}+\sqrt{21}-\sqrt{31} \]であり
\begin{eqnarray} & & \left(\mybox{ク}+\sqrt{21}-\sqrt{31}\right) \left(\mybox{ク}+\sqrt{21}+\sqrt{31}\right) (9+2\sqrt{21}) \\ &=& \myBox{ケ} \end{eqnarray}となる。次の $\mybox{コ}$ に当てはまるものを、下の 0 ～ 5 のうちから一つ選べ。
$\myBox{コ}$ が成り立つ。
0: $a \lt b \lt c$
1: $b \lt c \lt a$
2: $c \lt a \lt b$
3: $a \lt c \lt b$
4: $c \lt b \lt a$
5: $b \lt a \lt c$
考え方
コを求めるときに、ケをどう使えばいいかがポイントです。「3つの積のうち、1つ目の正負を知りたい」という気持ちがあれば、ひらめくでしょう。
解答編
問題
$\sqrt{21}$ の整数部分は $\myBox{キ}$ である。
解説
$n^2 \leqq 21 \lt (n+1)^2$ となる整数 n を見つければいいですね。いくつか試行錯誤すると、\[ 4^2 \leqq 21 \lt 5^2 \]であることが見つけられるので、 $\sqrt{21}$ の整数部分は $4$ であることがわかります。
解答
キ：4
解答編 つづき
問題
$\sqrt{21}$, $\sqrt{23}$, $\sqrt{31}$ の小数部分をそれぞれ a, b, c とするとき\[ a-c=\myBox{ク}+\sqrt{21}-\sqrt{31} \]であり
\begin{eqnarray} & & \left(\mybox{ク}+\sqrt{21}-\sqrt{31}\right) \left(\mybox{ク}+\sqrt{21}+\sqrt{31}\right) (9+2\sqrt{21}) \\ &=& \myBox{ケ} \end{eqnarray}となる。
解説
先ほどと同じように考えると、\[ 5^2 \leqq 31 \lt 6^2 \]から $\sqrt{31}$ の整数部分は $5$ であることがわかります。
よって、 $a=\sqrt{21}-4$, $c=\sqrt{31}-5$ となります。
このことから
\begin{eqnarray}
a-c
&=&
(\sqrt{21}-4)-(\sqrt{31}-5) \\
&=&
1+\sqrt{21} -\sqrt{31} \\
\end{eqnarray}となることがわかります。
また、
\begin{eqnarray}
& &
(1+\sqrt{21} -\sqrt{31})(1+\sqrt{21} +\sqrt{31}) \\
&=&
(1+\sqrt{21})^2 -(\sqrt{31})^2 \\
&=&
1+2\sqrt{21}+21 -31 \\
&=&
2\sqrt{21} -9 \\
\end{eqnarray}なので、与えられた式の値は次のように計算できます。
\begin{eqnarray}
& &
(1+\sqrt{21}-\sqrt{31}) (1+\sqrt{21}+\sqrt{31}) (9+2\sqrt{21}) \\
&=&
(2\sqrt{21}-9) (2\sqrt{21}+9) \\
&=&
4\times 21 -81 \\
&=&
3
\end{eqnarray}
解答
ク：1
ケ：3
解答編 つづき
問題
次の $\mybox{コ}$ に当てはまるものを、下の 0 ～ 5 のうちから一つ選べ。
$\myBox{コ}$ が成り立つ。
0: $a \lt b \lt c$
1: $b \lt c \lt a$
2: $c \lt a \lt b$
3: $a \lt c \lt b$
4: $c \lt b \lt a$
5: $b \lt a \lt c$
解説
先ほど求めた ケ の意味が少しわかりにくいかもしれません。もう一度、結果だけ書いてみます。\[ (1+\sqrt{21}-\sqrt{31}) (1+\sqrt{21}+\sqrt{31}) (9+2\sqrt{21}) =3 \]この1つ目のカッコの中は、 $a-c$ のことでしたね。そして、2つ目のカッコ、3つ目のカッコの中は正です。この3つを掛けた結果も正の値です。このことから、1つ目のカッコの中も正、ということがわかるんですね。つまり、\[ a \gt c \]となります。この使い方は気づきにくいかもしれません。
$4^2 \leqq 23 \lt 5^2$ なので、 $b=\sqrt{23}-4$ です。 $a=\sqrt{21}-4$ なので、 $b\gt a$ もわかります。この2つを合わせると、 $c\lt a \lt b$ が得られます。
解答
コ：2
