【標準】和の公式(べき乗和の公式)

ここでは、和の公式を使った応用例として、いくつかの例題を見ていきましょう。

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べき乗和の復習

数列の分野で出てくる、自然数のべき乗和の公式を復習しておきましょう。

まず、 $1$ から n までの和は、次のようになります。\[ 1+2+3+\cdots+n = \frac{1}{2}n(n+1) \]これは、【基本】和の公式(1からnまでの和)で出てきた式です。

2乗の和は、次のようになります。\[ 1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \]これは、【基本】和の公式(2乗の和)で出てきています。

最後に、3乗の和は、【基本】和の公式(3乗の和)で見た通り、\[ 1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3 = \left\{\frac{1}{2}n(n+1)\right\}^2 \]となります。

これらを踏まえて、以下の例題を見てみます。

n+1から2nまでの和

例題1
次の和を求めなさい。\[ (n+1)^2+(n+2)^2+\cdots+(2n-1)^2+(2n)^2 \]

和を求めなさい、と言われたら、和の公式のように、 n の式で表します。

式を見ると、 $n+1$ から $2n$ までの2乗の和ですね。なので、2乗の和の公式が使えそうです。2乗の和の公式は、 $1$ から n までなので、「 $1$ から $2n$ まで」から「 $1$ から $n$ まで」を引けば、求められますね。

2乗の和の公式で、 n の部分を $2n$ に置き換えると、次のようになります。
\begin{eqnarray}
\frac{1}{6}\cdot 2n (2n+1)(2\cdot 2n+1)
\end{eqnarray}これが $1$ から $2n$ までの2乗の和となります。よって、求めたい和は
\begin{eqnarray}
& &
\frac{1}{6}\cdot 2n (2n+1)(2\cdot 2n+1) -\frac{1}{6}n (n+1)(2n+1) \\[5pt] &=&
\frac{1}{6}n (2n+1)\{ 2(2\cdot 2n+1) -(n+1) \} \\[5pt] &=&
\frac{1}{6}n (2n+1)(8n+2 -n-1) \\[5pt] &=&
\frac{1}{6}n (2n+1)(7n+1) \\[5pt] \end{eqnarray}となります。これが答えです。

和の公式を見てもわかる通り、共通因子が多いので、すべて展開して計算するよりも工夫して計算できないかを考えるようにしましょう。

ちなみに、上の式に代入した値は、 $n=1$ のときは $4$ で、 $n=2$ のときは $25$ となり、たしかにあってそうですね。計算が複雑な場合は、こうして具体的な例を用いて検算すると安全です。

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「2乗かける次の数」の和

例題2
次の和を求めなさい。\[ 1^2\cdot 2+2^2\cdot 3+3^2\cdot 4+\cdots+n^2\cdot (n+1) \]

今度は、2乗にさらに「次の数」が掛かっています。パッと見ると、公式は使えないように思えます。

しかし、よく見ると、展開してわければいいことがわかります。つまり、 $k^2(k+1)$ となっている部分を展開すれば、 $k^3+k^2$ とできます。こう分解すれば、「3乗の和」と「2乗の和」を足せばいいだけのことだな、とわかりますね。

このように分解して計算すればいい、というのが分かれば、あとは公式を利用して整理していくだけです。
\begin{eqnarray}
& &
1^2\cdot 2+2^2\cdot 3+3^2\cdot 4+\cdots+n^2\cdot (n+1) \\[5pt] &=&
1^2\cdot (1+1)+2^2\cdot (2+1)+3^2\cdot (3+1)+\cdots+n^2\cdot (n+1) \\[5pt] &=&
(1^3+1^2)+(2^3+2^2)+(3^3+3^2)+\cdots+(n^3+n^2) \\[5pt] &=&
\frac{1}{4}n^2(n+1)^2 +\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \\[5pt] &=&
\frac{1}{12}n(n+1) \{ 3n(n+1)+2(2n+1) \} \\[5pt] &=&
\frac{1}{12}n(n+1) (3n^2+7n+2) \\[5pt] &=&
\frac{1}{12}n(n+1)(n+2)(3n+1) \\[5pt] \end{eqnarray}となります。これが答えです。

実際、 $n=1$ とすると式の値は $2$ で、 $n=2$ とすると $14$ となり、直接和を出した場合と同じ答えになります。なので、間違ってはないことがわかります。

おわりに

ここでは、べき乗和の公式を使って、いくつかの例題を見てきました。今までの式をどう変形すればいいかを工夫して考えましょう。また、答えが出たら、いくつか代入してみて、検算する癖をつけておきましょう。