【標準】和の記号Σを使った計算

ここでは、 $\sum$ を使った計算の例をいくつか見ていきます。

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展開と和

例題1
次の和を求めなさい。\[ 1^2\cdot 2+2^2\cdot 3+3^2\cdot 4+\cdots+n^2(n+1) \]

2乗の和の公式や自然数の和の公式はあります(参考:【基本】和の公式(2乗の和))。しかし、この例題のような形の和に対する公式はありません。今まで見た公式を利用して解くことを考えます。

この式を、 $\sum$ を使って書き換えてみましょう。この和の k 項目は、 $k^2(k+1)$ となるので、\[ \sum_{k=1}^n k^2(k+1) \]と書くことができます。こう書くと、 $\sum$ の後の部分を展開することで、次のように分けることができます。
\begin{eqnarray}
\sum_{k=1}^n k^2(k+1)
&=&
\sum_{k=1}^n (k^3+k^2) \\[5pt] &=&
\sum_{k=1}^n k^3 +\sum_{k=1}^n k^2 \\[5pt] \end{eqnarray}こう分けると、3乗の和の公式(参考:【基本】和の公式(3乗の和))と2乗の和の公式を使えるようになりますね。以下は、次のように計算できます。
\begin{eqnarray}
& &
\frac{1}{4}n^2(n+1)^2 +\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \\[5pt] &=&
\frac{n(n+1)}{12} \{ 3n(n+1) +2(2n+1) \} \\[5pt] &=&
\frac{n(n+1)}{12} ( 3n^2+7n+2 ) \\[5pt] &=&
\frac{1}{12} n(n+1)(n+2)(3n+1)
\end{eqnarray}となります。

もとの式のままだと「3乗の和と2乗の和の公式を使う」ことに少し気づきにくいかもしれません。 $2^2\cdot3$ を見て「 $2^3+2^2$ と分解できる」 と気づくのは難しいですよね。 $\sum$ を使って書くと、項の数が減り、抽象的な形で書けるため、考えやすくなることがあります。 $\sum$ を使った書き方に早くなれるようにしましょう。

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和の和

例題2
次の和を求めなさい。\[ 1+(1+2)+(1+2+3)+\cdots+(1+2+\cdots+n) \]

「 $1$ から $k$ までの和」を $1$ から $n$ まで足す、という式になっています。ややこしいですね。そのまま扱うのは面倒です。

これは、公式を使ってカッコの部分を変形すると考えやすくなります。カッコの中は、「 $1$ から $k$ までの和」なので、\[ \frac{1}{2}k(k+1) \]となります(参考:【基本】和の公式(1からnまでの和))。これを $k=1$ から $k=n$ まで足せばいいので、
\begin{eqnarray}
& &
\sum_{k=1}^n \frac{1}{2} k(k+1) \\[5pt] &=&
\frac{1}{2} \sum_{k=1}^n (k^2+k) \\[5pt] &=&
\frac{1}{2} \sum_{k=1}^n k^2 +\frac{1}{2} \sum_{k=1}^n k \\[5pt] &=&
\frac{1}{2}\times\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) +\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}n(n+1) \\[5pt] &=&
\frac{n(n+1)}{12}\{(2n+1)+3\} \\[5pt] &=&
\frac{n(n+1)(n+2)}{6} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。これが答えです。

なお、「 $1$ から $k$ までの和」を $\dfrac{1}{2}k(k+1)$ と変形しなくても、求めることはできます。例えば、各数字が何回足されるかに注目してみましょう。\[ 1+(1+2)+(1+2+3)+\cdots+(1+2+\cdots+n) \]を見ると、 $1$ は $n$ 回足されます。 $2$ は $1$ よりも1回少ないので、 $n-1$ 回です。 $3$ は $n-2$ 回ですね。つまり、 $k$ は $n-k+1$ 回足されることになります。この k は $1$ から $n$ までの自然数です。

これらをすべて足せばいいので
\begin{eqnarray}
& &
\sum_{k=1}^n k \cdot (n-k+1) \\[5pt] &=&
\sum_{k=1}^n nk -\sum_{k=1}^n k^2 +\sum_{k=1}^n k \\[5pt] \end{eqnarray}となります。1つ目の $\sum$ について、 nk に関係ない数なので、 k についての和に $n$ を掛けたものになります。この式を計算すると
\begin{eqnarray}
& &
n\times \frac{1}{2}n(n+1) -\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) +\frac{1}{2}n(n+1) \\[5pt] &=&
\frac{1}{6}n(n+1)\{ 3n-(2n+1)+3 \} \\[5pt] &=&
\frac{1}{6}n(n+1)(n+2) \\[5pt] \end{eqnarray}となります。同じ答えになりますが、前者のやり方のほうが楽です。後者のやり方は、思いつきにくい上、計算もそれほど楽ではありません。

おわりに

ここでは、和の記号Σを使った計算をいくつか見ました。一見、和の公式を使わないように見えても、変形することで和の公式が使えるようになることもあります。いろいろな例を見て、使い方をマスターしていきましょう。