【標準】二次方程式が実数解を持つ範囲

ここでは、定数を含む二次方程式が、実数解を持つような範囲を求める問題を考えてみます。見た目は二次方程式の問題ですが、途中から二次不等式の話も出てきます。

【広告】

例題

例題
二次方程式 $x^2+mx+2m-3=0$ が異なる2つの実数解を持つような、定数 m の範囲を求めなさい。
【広告】

二次方程式の解の個数については、【基本】二次方程式の解の個数と判別式で見た通り、判別式を考えればいいんでしたね。

今考えるのは、二次方程式が異なる2つの実数解を持つときなので、判別式を D とすると、 $D\gt 0$ という条件を考えればいいわけですね。このことから、次のような範囲になることが分かります。
\begin{eqnarray}
m^2-4(2m-3) \gt 0 \\
m^2-8m+12 \gt 0 \\
(m-2)(m-6) \gt 0 \\
\end{eqnarray}このことから、下のグラフと合わせると、求める範囲は $m\lt 2, m \gt 6$ となることがわかります。

standard-quadratic-equation-real-root-01

いろいろなパターン

【基本】二次方程式の解の個数と判別式の例題と上の例題はかなり似ていますが、後半に出てくる不等式が一次か二次かという違いがありました。 $D=b^2-4ac$ の $b^2$ のところに文字が入ってあったので、二次不等式になってしまったんですね。

上の例題では、「異なる2つの実数解をもつとき」を求める問題でしたが、ここはいろいろなパターンがあります。「重解を持つとき」「1つの実数解を持つとき」といわれれば、 $D=0$ という条件を考えます。「実数解を持たないとき」といわれれば、 $D\lt 0$ という条件を考えます。

また、「実数解を持つとき」としか書いていない場合は、「実数解が1個または2個」ということなので、 $D\geqq 0$ という条件を考えることになります。

判別式と解の個数との関係がパッと出てくるようにしておきましょう。