なかけんの数学ノート

【標準】和集合の要素の個数

ここでは、和集合の要素の個数を数える問題を見ていきます。【基本】和集合の要素の個数では、2つの集合の和集合を見ましたが、ここでは3つの集合の場合を考えてみます。

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3つのどれかで割れるものの個数

例題
1から100までの整数のうち、2, 3, 5 の少なくとも1つで割り切れるものはいくつあるか。

2つの集合の場合は、【基本】和集合の要素の個数で考えましたが、そのときと同じようにベン図を使って考えてみましょう。
standard-number-of-elements-of-union-of-sets-01
ちょっと変な記号を入れてみました。2だけ、3だけ、5だけで割り切れるものの集合を、ぞれぞれ $A_{200}$, $A_{030}$, $A_{005}$ としています。2と3だけ、3と5だけ、5と2だけで割り切れるものの集合を、それぞれ $A_{230}$, $A_{035}$, $A_{205}$ としています。そして、2と3と5のどれでも割り切れるものの集合を、 $A_{235}$ としています。また、図には出てきていませんが、2の倍数、3の倍数、5の倍数の集合(上の図の円に対応)を、ぞれぞれ $A_2$, $A_3$, $A_5$ と書くことにします。

今求めたいのは、色のついた部分( $A_2\cup A_3\cup A_5$ )に含まれるものの個数です。つまり、上にあげた7つの集合の要素数を合わせたものですね。ただ、これを求めるのに「2の倍数」と「3の倍数」と「5の倍数」を足すだけではだめです。なぜなら、次のように、交わっているところをダブって足すことになってしまうからです。( $n(A)$ は集合 A の要素数を表しています)
standard-number-of-elements-of-union-of-sets-01
\begin{eqnarray}
& & n(A_2)+n(A_3)+n(A_5) \\[5pt]
&=&
\{ n(A_{200})+n(A_{230})+n(A_{205})+n(A_{235}) \} \\[5pt]
& & + \{ n(A_{030})+n(A_{230})+n(A_{035})+n(A_{235}) \} \\[5pt]
& & + \{ n(A_{005})+n(A_{205})+n(A_{035})+n(A_{235}) \} \\[5pt]
&=&
\{ n(A_{200})+n(A_{030})+n(A_{005}) \\[5pt]
& & +n(A_{230})+n(A_{035})+n(A_{205})+n(A_{235}) \} \\[5pt]
& & + \{ n(A_{230})+n(A_{035})+n(A_{205})+2\times n(A_{235}) \} \\[5pt]
\end{eqnarray}最後の式の1つ目の波かっこ内だけが求めたいものです。ベン図の中にある細分化された集合が、1回ずつ登場しているのが確認できるはずです。倍数の数をただ足すだけでは、最後の式の2つ目の波かっこが余分に足されてしまうことになります。

そこで、【基本】和集合の要素の個数のときと同じように、ダブっているところを引けばいいんじゃないか、という発想が出てきます。2つの集合が重なっている部分は3つあるので、その集合の要素数を足すと、次のようになります。
\begin{eqnarray}
& & n(A_2\cap A_3)+n(A_3\cap A_5)+n(A_5\cap A_2) \\[5pt]
&=&
\{ n(A_{230})+n(A_{235}) \} \\[5pt]
& & + \{ n(A_{035})+n(A_{235}) \} \\[5pt]
& & + \{ n(A_{205})+n(A_{235}) \} \\[5pt]
&=&
\{ n(A_{230})+n(A_{035})+n(A_{205})+ 2\times n(A_{235}) \} \\[5pt]
& & + n(A_{235}) \\[5pt]
\end{eqnarray}ここで、上の式と見比べてみると、 $n(A_{235})$ の部分だけズレがあります。つまり、「2つの集合が重なっている部分」を3か所引くと、今度は「3つの集合が重なっている部分が1回余分に引かれてしまう」ということです。そのため、これを後で足さないといけません。

まとめると、こういうことです。
standard-number-of-elements-of-union-of-sets-01

  • 3つの円に含まれる要素数をそのまま足すと、2つの円が重なる箇所を2回、3つの円が重なる箇所を3回数えることになる
  • そのため、2つの円が重なる3つの箇所を引く
  • その結果、2つの円が重なる箇所を数える回数は1回になるが、3つの円が重なる箇所は数えないことになってしまう
  • そのため、3つの円が重なる箇所を足す

式で書くと、次のようになります。

3つの集合の和集合の要素の個数
3つの集合 A, B, C の和集合の要素数について、次が成り立つ。
\begin{eqnarray}
n(A\cup B \cup C)
&=&
n(A)+n(B)+n(C) \\
& &
-n(A \cap B)-n(B\cap C)-n(C\cap A) \\
& &
+n(A \cap B \cap C) \\
\end{eqnarray}

これに基づいて例題を解くと、2の倍数は50個、3の倍数が33個、5の倍数が20個で、6の倍数が16個、15の倍数が6個、10の倍数が10個、そして30の倍数が3個なので\[ 50+33+20 -16-6-10 +3 = 74 \]個と求められます。

おわりに

ここでは、3つの集合の和集合の要素の個数を求める問題を見ました。2つの場合と比べ状況が複雑になりましたが、「ダブって数えた後に、不要な部分を引く」という発想と、ベン図を使う点は共通しています。式には規則性があるので、内容が分かればそれほど難しくはないでしょう。

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対象者: 数学A
分野: 場合の数と確率
トピック: 場合の数
レベル: 標準
キーワード: 倍数, 場合の数
更新日:2017/01/19