なかけんの数学ノート

【標準】二次関数の最大・最小(上下に動く)

二次関数の最大値と最小値の求め方について、定義域が実数全体の場合定義域に制限のある場合の2つの場合を見てきました。ここからは、二次関数の係数や定義域に別の文字が入ってきて、二次関数や定義域が動く場合を見ていきます。話がややこしくて多くの人がつまづくので、入試などでもよく問われる内容になっています。

この記事では、定数項に文字が入っている場合を考えます。

【例題】
c を定数とする。関数 $y=-x^2+3x+c+1 \ (0 \leqq x \leqq 5)$ の最小値が $-1$ のとき、 $c$ の値を求めなさい。

定数項に文字が入っていますが、まずは、文字が入ったままの状態で最小値を求めることを考えましょう。

グラフを描くために、平方完成をして次のように変形します。
\begin{eqnarray}
y
&=&
-x^2+3x+c+1 \\
&=&
-(x^2-3x)+c+1 \\
&=&
-\left( x-\frac{3}{2} \right)^2 +\frac{9}{4} +c+1 \\
&=&
-\left( x-\frac{3}{2} \right)^2 +c+\frac{13}{4} \\
\end{eqnarray}このことから、グラフを描くと次のようになります。
standard-max-and-min-of-quadratic-function-up-01

今までに見たグラフとかなり違っています。 c の値がわからないので、 x 軸との関係がわかりません。そのため、軸を省略しています。かわりに、放物線の軸を描いています。放物線の軸は、上の平方完成した式からわかりますね。

この関数の $x^2$ の係数は負なので、上に凸のグラフです。放物線の軸から離れれば離れるほどグラフ上の点は下に行くので、区間の左端より右端の方が下にきます。よって、グラフから、この関数の最小値は $y=c-9$ ( $x=5$ のとき)となることがわかります。

条件から、最小値が $-1$ になるということなので、 $c-9=-1$ から $c=8$ と求められます。これが答えです。

c の値が大きくても小さくても、定義域の右端で最小となることに変わりはありません。少し変わったグラフになりますが、形状が分かるようにグラフを描きましょう。

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対象者: 数学I
分野: 二次関数
トピック: 二次関数
レベル: 標準
キーワード: 二次関数, 最大・最小
更新日:2016/07/27