なかけんの数学ノート

【標準】正弦定理と比

ここでは、$\sin$ の比が与えられている状況で、角を求める問題を考えます。【標準】余弦定理と比で見た内容に帰着させて考えます。

なお、 $\mathrm{ AB }=c$, $\mathrm{ BC }=a$, $\mathrm{ CA }=b$ と書き、角の大きさは $\angle \mathrm{ CAB }=A$, $\angle \mathrm{ ABC }=B$, $\angle \mathrm{ BCA }=C$ と書くことにします。

【目次】

例題

【例題】
$\triangle \mathrm{ ABC }$ で、 $\sin A:\sin B:\sin C=13:8:7$ のとき、 A を求めなさい。

3辺の長さや3辺の長さの比がわかっていれば余弦定理を使えば解けます。しかし、今わかっているのは、 $\sin$ の比です。これを辺の長さを使って表現できれば解けそうですね。

$\sin$ と辺の長さの関係は、正弦定理を使えばいいですね。正弦定理から、
\begin{eqnarray}
& &
a:b:c \\
&=&
2R\sin A : 2R\sin B : 2R\sin C \\
&=&
\sin A : \sin B : \sin C \\
\end{eqnarray}なので、 $a:b:c=13:8:7$ であることがわかります。あとは、【標準】余弦定理と比と流れは同じです。

正の数 k を用いて、 $a=13k$, $b=8k$, $c=7k$ と書けます。余弦定理から
\begin{eqnarray}
\cos A
&=&
\frac{(8k)^2+(7k)^2-(13k)^2}{2\cdot 8k\cdot 7k} \\[5pt]
&=&
\frac{64+49-169}{2\cdot 8\cdot 7} \\[5pt]
&=&
\frac{-56}{2\cdot 8\cdot 7} \\[5pt]
&=&
-\frac{1}{2} \\[5pt]
\end{eqnarray}なので、 $A=120^{\circ}$ と求められます。

ちなみに、問題文が次のような形になっている場合もあります。

【例題】
$\triangle \mathrm{ ABC }$ で、 $\displaystyle \frac{\sin A}{13}=\frac{\sin B}{8}=\frac{\sin C}{7}$ のとき、 A を求めなさい。

形は違いますが、内容は同じです。 $\displaystyle \frac{\sin A}{13}=k$ とすると、
\begin{eqnarray}
& &
\sin A:\sin B:\sin C \\
&=&
13k:8k:7k \\
&=&
13:8:7
\end{eqnarray}となるからです。

おわりに

ここでは、 $\sin$ の比が与えられているときに、角度を求める問題を考えました。正弦定理を使って辺の比に変換し、余弦定理を使って角度を求める、という順番で求めることができるんでしたね。 $\sin$ の比から直接角度を求めることはできないので、このやり方をよく理解しておきましょう。

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対象者: 数学I
分野: 図形と計量
トピック: 三角比
レベル: 標準
キーワード: , 正弦定理, 余弦定理
更新日:2016/10/16