なかけんの数学ノート

【標準】余弦定理と比

ここでは、辺の長さの比が与えられている状況で、角を求める問題を考えます。一見すると、余弦定理が使えないようにも思えますが、少し工夫すれば使えるようになります。

なお、 $\mathrm{ AB }=c$, $\mathrm{ BC }=a$, $\mathrm{ CA }=b$ と書き、角の大きさは $\angle \mathrm{ CAB }=A$, $\angle \mathrm{ ABC }=B$, $\angle \mathrm{ BCA }=C$ と書くことにします。

【目次】

例題

【例題】
$\triangle \mathrm{ ABC }$ で、 $a:b:c=\sqrt{2}:2:(1+\sqrt{3})$ のとき、 A を求めなさい。

3辺の長さがわかっていれば余弦定理が使えますが、今は3辺の長さの比しかわかっていません。しかし、この場合でも余弦定理が使えます。

$a:b:c=\sqrt{2}:2:(1+\sqrt{3})$ なので、正の数 k を用いて、 $a=\sqrt{2}k$, $b=2k$, $c=(1+\sqrt{3})k$ と書けます。このように置いて、余弦定理を使うと、後でわかる通り、うまい具合に k が消えるんですね。

余弦定理から次のように計算できます。
\begin{eqnarray}
\cos A
&=&
\frac{ (2k)^2+\{(1+\sqrt{3})k\}^2-(\sqrt{2}k)^2 }{ 2\cdot 2k \cdot (1+\sqrt{3})k } \\[5pt]
&=&
\frac{ 4k^2+(4+2\sqrt{3})k^2-2k^2 }{ 4(1+\sqrt{3})k^2 } \\[5pt]
&=&
\frac{ 6+2\sqrt{3} }{ 4(1+\sqrt{3}) } \\[5pt]
&=&
\frac{ (6+2\sqrt{3})(1-\sqrt{3}) }{ 4(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3}) } \\[5pt]
&=&
\frac{ 6-6\sqrt{3}+2\sqrt{3}-6 }{ -8 } \\[5pt]
&=&
\frac{ \sqrt{3} }{ 2 } \\
\end{eqnarray}$k^2$ が分母分子にあるので、きれいに消えます。式変形の後半では、有理化を行っています。この計算が不安な人は、【標準】分母に項が複数あるときの有理化を見ましょう。

上の計算から、 $A=30^{\circ}$ と求められます。

おわりに

辺の比が与えられている場合に角度を求める問題を考えました。比が与えられている場合に、上のように k 倍して考える、というのはよくある手法なので覚えておきましょう。

ちなみに、辺の比が決まっただけでなぜ角度が出るのかというと、形が決まるからなんですね。2つの三角形があって、3辺の比が一致していたら、その2つの三角形は相似になります。形が決まるから、角度も求められる、ということです。

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対象者: 数学I
分野: 図形と計量
トピック: 三角比
レベル: 標準
キーワード: 余弦定理
更新日:2016/10/15