【標準】あるベクトルに垂直なベクトル(内積利用)

ここでは、内積を使って、あるベクトルに垂直なベクトルを求めてみます。

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あるベクトルに垂直な単位ベクトル

例題
$\vec{a}=(1,2)$ と垂直な単位ベクトルを求めなさい。
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単位ベクトルとは、大きさが $1$ のベクトルのことです(参考:【基本】ベクトルの成分)。大きさが決まり、「垂直」という条件から向きが決まるので、ベクトルが定まる、ということですね。

求めるベクトルの成分を $(x,y)$ としましょう。大きさについての条件から\[ x^2+y^2=1 \]が得られます。

また、これと $\vec{a}$ とが垂直なので、内積が $0$ です(参考:【基本】ベクトルの内積となす角#ベクトルの垂直)。よって
\begin{eqnarray}
(1,2)\cdot(x,y) &=& 0 \\[5pt] x+2y &=& 0 \\[5pt] x &=& -2y \\[5pt] \end{eqnarray}が得られます。

この2つの条件から
\begin{eqnarray}
(-2y)^2+y^2 &=& 1 \\[5pt] y^2 &=& \frac{1}{5} \\[5pt] y &=& \pm\frac{\sqrt{5}}{5} \\[5pt] \end{eqnarray}が得られます。 $x=-2y$ なので、求める単位ベクトルは\[ \left(-\frac{2\sqrt{5}}{5},\frac{\sqrt{5}}{5}\right), \ \left(\frac{2\sqrt{5}}{5},-\frac{\sqrt{5}}{5}\right) \]となります。2つとも答えです。

あるベクトルに垂直なベクトル

ここでは、少し一般的な場合について考えてみましょう。

$\vec{0}$ ではない $\vec{a}=(a_1,a_2)$ というベクトルがあったとします。これとの内積が $0$ となるようなもので、わかりやすいものを、無理やり作ってみましょう。

\[ (a_1,a_2)\cdot(b_1,b_2)=0 \]とすると、\[ a_1b_1=-a_2b_2 \]が成り立ちます。これをよく眺めていると、 $b_1=a_2$ と $b_2=-a_1$ とすれば、両辺が等しくなりますね。

このことから、 $\vec{a}=(a_1,a_2)$ と $(a_2,-a_1)$ は垂直である、ということがわかります。 $\vec{a}$ と垂直なベクトルはすべて平行になるので、 $\vec{a}=(a_1,a_2)$ と $k(a_2,-a_1)$ は垂直になる( k は $0$ 以外の定数)ということがわかります。

あるベクトルに垂直なベクトル
k を $0$ 以外の定数とする。このとき、 $\vec{0}$ でない $\vec{a}=(a_1,a_2)$ は $k(a_2,-a_1)$ と垂直である。

成分を入れ替えて、片方の符号を反対にして、定数倍すれば、垂直なベクトルが得られる、というわけなんですね。

これを踏まえて上の例題を考えてみましょう。

$(1,2)$ と垂直なベクトルは、 $k(2,-1)$ と書けます。この大きさが $1$ となるときの k を求めると
\begin{eqnarray}
k^2\{ 2+(-1)^2 \} &=& 1 \\[5pt] k^2 &=& \frac{1}{5} \\[5pt] k &=& \pm\frac{\sqrt{5}}{5} \\[5pt] \end{eqnarray}が得られます。このことから、\[ \left(-\frac{2\sqrt{5}}{5},\frac{\sqrt{5}}{5}\right), \ \left(\frac{2\sqrt{5}}{5},-\frac{\sqrt{5}}{5}\right) \]と求めることもできます。

ベクトルの成分を使うと、平行なベクトルも垂直なベクトルも簡単に求めることができます(参考:【標準】ベクトルの成分と平行)。

おわりに

ここでは、内積を使って、あるベクトルに垂直なベクトルを求めました。成分を入れ替えて、片方の符号を変えて、定数倍、で垂直なベクトルが得られることも見ました。この背景で、内積を用いていることをおさえておきましょう。