【標準】三次関数の接線の傾きから接線を求める

ここでは、三次関数の接線の傾きが与えられている場合に、接線の方程式を求める問題を考えていきます。

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接線の傾きから接線を求める

例題
曲線 $y=x^3-x$ に接し、傾きが $2$ である直線の方程式を求めなさい。

「接する直線」なので、接線を求める、ということですね。

三次関数のグラフの接線については、【基本】微分と接線の方程式でも見ました。接点の x 座標を導関数に代入すれば、それがその点での接線の傾きになるのでしたね。その直線は接点を通ることから、接線の方程式もわかります。

しかし、今の場合、接線の傾きがわかっています。傾きがわかっていても、他にどの点を通るのかがわからなければ、接線の方程式は求められませんね。

接線がどういう点を通るのか、と考えた場合、一番特徴的な点は、やはり「接点」です。そのため、接点を求めよう、というのがオーソドックスな発想です。

接点の x 座標を $a$ とおきます。 $y=x^3-x$ を微分すると $y’=3x^2-1$ となるので、この接点での傾きは\[ 3a^2-1 \]となります。この傾きが $2$ になるときを求めると
\begin{eqnarray}
3a^2-1&=&2 \\[5pt] a^2&=&1 \\[5pt] a&=&\pm 1 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。よって、接点は、 $(1,0)$ と $(-1,0)$ となります。

傾きと通る点がわかったので、接線の方程式は\[ y=2x-2,\ y=2x+2 \]の2つであることがわかります。

接点と重解

ちなみに、放物線と直線が接する場合は、実数解が1つということなので、重解となります。二次関数の場合は、これを使い、判別式が $0$ であることを利用して解くこともできます(参考:【標準】二次関数のグラフと直線との共有点)。

三次関数の場合は、接点の x 座標がどんな解になるのか、少し見てみましょう。

上の例題では、 $y=x^3-x$ のグラフが $(1,0)$ で、直線 $y=2x-2$ と接するのでしたね。この右辺同士が等しい、という方程式を解けば
\begin{eqnarray}
x^3-x &=& 2x-2 \\[5pt] x^3-3x+2 &=& 0 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。因数定理を用いれば、 $x=1$ が解であることがわかります(参考:【基本】因数定理)。ただ、そもそも接点の座標から $x=1$ が解になることは当たり前です。これを踏まえて、 $(x-1)$ が出てくるように変形すると
\begin{eqnarray}
x^3-3x+2 &=& 0 \\[5pt] (x-1)(x^2+x-2) &=& 0 \\[5pt] (x-1)(x-1)(x+2) &=& 0 \\[5pt] (x-1)^2(x+2) &=& 0 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。これより、重複を無視して解を書けば、 $x=1,1,-2$ となり、 $x=1$ が重解であることがわかります(参考:【基本】高次方程式と重解)。

つまり、三次関数の場合も、接することと重解を持つことは同様の意味を持つことが予想できます。実際、この予想は正しく、もっと言えば、三次以上の関数についても正しいのですが、今の時点でそれをきちんと証明することは難しいです。微分について、もっと学習を深めていけば、登場してきます。

おわりに

ここでは、三次関数の接線の傾きから、接線の方程式を求める問題を見ました。接点の座標を求める、という方針で考えていくようにしましょう。