【標準】次数の同じ文字が入った式の因数分解

【基本】次数の異なる文字が入った式の因数分解では、「次数の異なる文字が入った式を因数分解する場合は、次数の低い文字に着目」すればいいことを紹介しました。しかし、すべての文字が同じ次数であればどうすればいいのでしょうか。

次数が同じ文字が入った式の因数分解は、いろいろな場合が考えられるので、ケースに応じて紹介していきます。なお、ここでは、2次式の因数分解のみを取り上げます。

2乗引く2乗の場合

2乗引く2乗の場合は、$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ にあてはめるだけです。

前半は $2x$ の2乗、後半は $5y$ の2乗なので、因数分解をすると次のようになります。
\begin{eqnarray} 4x^2-25y^2 = (2x+5y)(2x-5y) \end{eqnarray}この形は気づきやすいでしょう。

項が3つの場合

$ax^2+bxy+cy^2$ のように、項が3つの場合は、$ax^2+bx+c$ と考えて因数分解を行い、あとで、定数の部分に $y$ をつければOKです。

(1)は、 $x^2 -6x +8$ で考えると、「足して -6、掛けて8」になる組合せを考えればいいですね。そうすると、 $(-2,-4)$ の組合せが見つかります。これに後で $y$ をつけて次のようになります。\[ x^2 -6xy +8y^2 = (x-2y)(x-4y) \]なお、はじめから「足して $-6y$ 、掛けて $8y^2$ 」となる組合せを探す、と考えてもOKです。

(2)は、 $3x^2 -10x -8$ で考えます。2次の係数が1ではないので、【基本】たすき掛けを使った因数分解で解説した「たすき掛け」を使います。

いろいろなパターンを試すと、
　1　　　-4
　　　×
　3　　　2
であればうまくいくことがわかります。最後に $y$ をつけて、次のようになります。\[ 3x^2 -10xy -8y^2 = (x-4y)(3x+2y) \]展開してみれば、あっていることがわかりますね。

項が4つ以上の場合

さて、ここからが本題です。項が4つ以上ある場合は、「文字を含んだたすき掛け」などを考えないといけないケースがあります。例題を通してみていきましょう。

まず、(1)は、$x^2 +ax +b$ のときと同じように、「足して $2y$ 、掛けて $(y+1)(y-1)$ 」となる組合せを考えます。すると、掛けた結果からすぐ $y+1$ と $y-1$ の組合せにたどり着けます。このことから、因数分解をすると次のようになることが分かります。\[ x^2 +2xy +(y+1)(y-1) = (x+y+1)(x+y-1) \]

(2)は、最初と最後を見ると $ab$ でくくれる気がしますが、$x$ の項を見るとダメそうですね。また、文字が3つありますが、どの文字についても2次式なので、「次数の低い文字に着目」といったこともできません。

(2)も、(1)のように、基本的には $x$ 以外はすべて数字だと思って考えます。少し難しいですが、文字を含んだ状態で、たすき掛けを行います。

掛けて $ab$ になる組合せは、符号を考えなければ、$(a,b)$ と $(1,ab)$ しかありません。たすき掛けで試行錯誤している中で、次のようなケースも出てくるでしょう。
　$a$　　　$a$
　　　×
　$b$　　　$b$
しかし、この場合は、斜め同士を掛けて足し合わせると $2ab$ となり、元の式には戻らないことが分かります。なので、このケースはダメです。

このようにいろいろ試していくと、次にたどり着きます。
　$a$　　　$-b$
　　　×
　$b$　　　$-a$
これを用いて、因数分解した結果は次のようになります。\[ abx^2 -(a^2+b^2)x +ab = (ax-b)(bx-a) \]

(3)は項が多くて大変そうですが、こういう場合は1つの文字について整理することから始めます。
\begin{eqnarray} & & x^2 +3xy+4x+2y^2+7y+3 \\ &=& x^2 +(3y+4)x+(2y^2+7y+3) \\ \end{eqnarray}最後のカッコの中が因数分解できれば、(1)と似たような式になります。実際、最後のカッコの中は、因数分解できます。たすき掛けを使えば、次のように因数分解できることが分かります。 \begin{eqnarray} & & x^2 +(3y+4)x+(2y^2+7y+3) \\ &=& x^2 +(3y+4)x+(2y+1)(y+3) \\ \end{eqnarray}ここから先は、(1)と同様に、「足して $3y+4$ 、掛けて $(2y+1)(y+3)$ 」の組合せを探せばよく、$2y+1$ と $y+3$ の組合せであればいいことが分かりますね。このことから、因数分解をした結果は次のようになります。 \begin{eqnarray} & & x^2 +(3y+4)x+(2y+1)(y+3) \\ &=& (x+2y+1)(x+y+3) \\ \end{eqnarray}

(4)も、(3)と同様に、まずは1つの文字について整理し、(2)の場合に帰着させていきます。
\begin{eqnarray} & & 2x^2 +7xy+3x+3y^2-y-2 \\ &=& 2x^2 +(7y+3)x +(3y^2-y-2) \\ &=& 2x^2 +(7y+3)x +(3y+2)(y-1) \\ \end{eqnarray}

ここから先は、たすき掛けです。いろいろ試行錯誤すると、次の組合せがいいことがわかります。
　$2$　　　$y-1$
　　　×
　$1$　　　$3y+2$
このことから、因数分解をした結果は、次のようになります。
\begin{eqnarray} & & 2x^2 +(7y+3)x +(3y+2)(y-1) \\ &=& (2x+y-1)(x+3y+2) \end{eqnarray}

練習を繰り返さないと、なかなか身に付きません。はやく計算できるようになるには、計算問題を解いて練習するしかありません。

おわりに

ここでは、次数の同じ文字が入った式の因数分解を見ました。

どの文字についても2次式である場合は、公式を使ったり、文字が1種類のときを応用すれば因数分解することができます。文字を含んだたすき掛けは少し難易度は高いですが、定期試験でもこのレベルは普通に出題されます。多くの問題を解いて、計算に慣れておきましょう。