なかけんの数学ノート

【標準】二重根号の外し方

【基本】二重根号の外し方で、簡単な場合の二重根号の外し方を紹介しました。

例えば、$\sqrt{4+2\sqrt{3}}$ の場合は、「足して4、掛けて3」の組み合わせを考えます。そうすると、$3,1$という組み合わせが見つかるので、$\sqrt{4+2\sqrt{3}} = \sqrt{3}+1$ となります。

このページでは、もう少し難しい場合の「二重根号の外し方」を紹介します。

【例題】
次の式の二重根号を外して、簡単にせよ。
(1) $\sqrt{6+4\sqrt{2}}$
(2) $\sqrt{4-\sqrt{15}}$

まず(1)を考えます。先ほどと同じように「足して6、掛けて2の組み合わせを見つければいいんだな」とやってはいけません。二重根号を外すときのキーとなる式は、次の式変形でしたね。
\[ (\sqrt{p} +\sqrt{q})^2 = (p+q) +2\sqrt{pq} \]この式変形があるから、$\sqrt{(p+q) +2\sqrt{pq}} = \sqrt{p} +\sqrt{q}$とできるんですね。$\sqrt{pq}$の前にあるのは$2$なので、これと同じ形に変形してからでないといけません。

(1)の場合は、$4=2\times2$として、片方の$2$を無理やり$\sqrt{2}$の中に入れます。つまり、次のように式変形をします。
\begin{eqnarray}
\sqrt{6+4\sqrt{2}}
&=&
\sqrt{6+2\sqrt{4\times 2}}\\
&=&
\sqrt{6+2\sqrt{8}}\\
\end{eqnarray}この状態にしてから、組合せを考える必要があります。「足して6、掛けて8」なので、$4,2$の組み合わせですね。このことから、\[ \sqrt{6+4\sqrt{2}} = 2+\sqrt{2} \]となります。なお、これは【導入】二重根号についてで出てきた例です。

次に、(2)の $\sqrt{4-\sqrt{15}}$ を考えます。これも、$\sqrt{15}$の前に$2$がありません。なので、無理やり作り出す必要があります。といっても、今回は先ほどと違って難易度が高いですね。「無いところから2を生み出す」ために、「2で割って2を掛ける」という必殺技を使います。
\begin{eqnarray}
\sqrt{4-\sqrt{15}}
&=&
\frac{2\sqrt{4-\sqrt{15}}}{2} \\[5pt]
&=&
\frac{\sqrt{16-4\sqrt{15}}}{2} \\[5pt]
&=&
\frac{\sqrt{16-2\sqrt{60}}}{2} \\[5pt]
\end{eqnarray}1行目で「2で割って2を掛ける」、2行目で「2をルートの中に入れる」、3行目で「2をさらに内側のルートに入れる」という計算をしています。これは難しいですね。

ただ、ここまで来れば、後は他の問題と同様です。「足して16、掛けて60」となるものを探せばよく、$10,6$の組み合わせであることが分かります。答えが正になるように注意して、\[ \sqrt{4-\sqrt{15}} = \frac{ \sqrt{10} -\sqrt{6} }{2} \]となります。

二重根号の外し方について、ここまでのことをまとめておきましょう。

【二重根号の外し方】
$\sqrt{ \bigcirc +2\sqrt{\triangle} }$ や $\sqrt{ \bigcirc -2\sqrt{\triangle} }$ は、足して○、掛けて△となる数字$p,q \ (p \gt q \gt 0)$を見つけて、次のように変形する。
\begin{eqnarray}
\sqrt{ \bigcirc +2\sqrt{\triangle} } = \sqrt{p}+\sqrt{q} \\
\sqrt{ \bigcirc -2\sqrt{\triangle} } = \sqrt{p}-\sqrt{q}
\end{eqnarray}
$\sqrt{\triangle}$の前が$2$でないときは、無理やり$2$が出てくるように変形してから考える。

$\sqrt{\triangle}$の前が$2$でないときは、式変形が必要です。偶数のときは、2以外の部分を内側のルートに入れる必要があります。奇数のときは、「2で割って2を掛ける」という変形が必要です。$\sqrt{\triangle}$の前が$2$になれば、あとは、和と積の条件から数字のペアを見つけることになります。

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対象者: 数学I
分野: 数と式
トピック: 実数
レベル: 標準
キーワード: 二重根号
更新日:2016/05/08